Тепловые процессы
И аппараты
ТЕПЛООБМЕН
Химические технологические процессы протекают в заданном направлении только при определенных температурах, которые создаются путем подвода или отвода тепловой энергии (теплоты). Процессы, скорость протекания которых зависит от скорости подвода или отвода теплоты, называются тепловыми. Движущей силой тепловых процессов является разность температур между фазами. Аппараты, в которых осуществляются тепловые процессы, называются теплообменниками, в них тепло переносится теплоносителями.
Расчет теплообменных процессов и аппаратов сводится обычно к определению межфазной поверхности теплообмена. Эта поверхность находится из уравнения теплопередачи в интегральной форме. Коэффициент теплопередачи , как известно, зависит от коэффициентов теплоотдачи фаз, а также от термического сопротивления стенки. Ниже будут рассмотрены способы их определения, нахождение поля температур и тепловых потоков. Там, где это возможно, искомые величины находятся из решения уравнений законов сохранения, а в остальных случаях используются упрощенные математические модели или метод физического моделирования.
Кондуктивный теплообмен в плоской стенке
Рассмотрим теплообмен в неподвижной плоской стенке
из однородного материала, теплофизические свойства которого постоянны
(с p
, l, r = const) (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Распределение температуры в плоской стенке
Общее уравнение нестационарной теплопроводности Фурье имеет вид
(1)
Процесс теплообмена стационарный, тогда 
. Считаем,
что высота и длина гораздо больше толщины стенки d, следовательно, теплообмен по этим направлениям отсутствует, тогда температура изменяется лишь вдоль одной координаты х
, отсюда имеем
Поскольку 
, имеем
(2)
Очевидным решением этого уравнения является
,
(3)
Граничные условия:
при 
;
при 
Находим 
и 
, 
, тогда
. (4)
Распределение T по толщине d
. (5)
Из полученного уравнения (5) видно, что в плоской стенке распределение Т является прямолинейным.
Поток тепла за счет теплопроводности определяется по закону Фурье
; (6)
. (7)
Здесь характеризует тепловую проводимость стенки, а – термическое сопротивление стенки.
Для многослойной стенки термическое сопротивление отдельных стенок необходимо суммировать
. (8)
Определим количество теплоты, передаваемое за время t через площадь F
Лекция 4. КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН.
4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного
температурного поля
4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл
4.3 Условия однозначности – краевые условия
4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного
температурного поля
Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами его характеризующими. Для установления такой зависимости при изучении довольно сложного процесса теплопроводности использованы методы математической физики, суть которых заключается в рассмотрении процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением - уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:
Внутренние источники теплоты отсутствуют;
Тело однородно и изотропно;
Используется закон сохранения энергии – разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный объем за время dτ и вышедшей из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.
В теле выделяется элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлениях осей x, y, z.
Рисунок 4.1 К выводу дифференциального уравнения теплопроводности
Через площадку dx·dy за время dτ, согласно гипотезе Фурье, проходит следующее количество теплоты:
https://pandia.ru/text/80/151/images/image003_138.gif" width="253" height="46 src="> (4.2)
где https://pandia.ru/text/80/151/images/image005_105.gif" width="39" height="41"> определяет изменение температуры в направлении z.
После математических преобразований уравнение (4.2) запишется:
https://pandia.ru/text/80/151/images/image007_78.gif" width="583" height="51 src=">, после сокращения:
https://pandia.ru/text/80/151/images/image009_65.gif" width="203" height="51 src="> (4.4)
https://pandia.ru/text/80/151/images/image011_58.gif" width="412" height="51 src="> (4.6)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:
https://pandia.ru/text/80/151/images/image013_49.gif" width="68" height="22 src=">.gif" width="203" height="51 src=">. (4.8)
Величина https://pandia.ru/text/80/151/images/image017_41.gif" width="85" height="41 src="> (4.9)
Уравнение (4.9) называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным уравнением при изучении процессов теплопроводности и устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке температурного поля .
Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела:
https://pandia.ru/text/80/151/images/image019_35.gif" width="181" height="50">
Следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине а .
Величина https://pandia.ru/text/80/151/images/image021_29.gif" width="26" height="44">. При одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Так газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности.
В нестационарных тепловых процессах а характеризует скорость изменения температуры.
4.3 Условия однозначности – краевые условия
Дифференциальное уравнение теплопроводности (или система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена) описывают эти процессы в самом общем виде. Для изучения конкретного явления или группы явлений переноса теплоты теплопроводностью или конвекцией, необходимо знать: распределение температур в теле в начальный момент, температуру окружающей среды, геометрическую форму и размеры тела, физические параметры среды и тела, граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела или условия теплового взаимодействия тела с окружающей средой.
Все эти частные особенности объединяют в так называемые условия однозначности или краевые условия , которые включают:
1) Начальные условия . Задают условия распределения температур в теле и температуру окружающей среды в начальный момент времени τ = 0.
2) Геометрические условия . Задают форму, геометрические размеры тела и его положение в пространстве.
3) Физические условия . Задают физические параметры среды и тела.
4) Граничные условия могут быть заданы тремя способами.
Граничное условие I рода : задается распределение температуры на поверхности тела для любого момента времени;
Граничное условие II рода : Задается плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.
Граничное условие III рода : задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.
Законы конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей средой отличаются большой сложностью. В основу теории конвективного теплообмена положено уравнение Ньютона-Рихмана, устанавливающего связь между плотностью теплового потока на поверхности тела q и температурным напором (tcт – tж), под воздействием которого и происходит теплоотдача на поверхности тела:
q = α·(tcт – tж), Вт/м2 (4.11)
В этом уравнении α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/м2·град.
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1 градус. Коэффициент теплоотдачи зависит от очень многих факторов и его определение весьма затруднительно. При решении задач теплопроводности его значение, как правило, принимают постоянным.
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времен со стороны внутренних частей тела:
https://pandia.ru/text/80/151/images/image023_31.gif" width="55" height="47 src=">- проекция градиента температуры на направление нормали к площадке dF.
Приведенное равенство является математической формулировкой граничного условия III рода.
Решение дифференциального уравнения теплопроводности (или системы уравнений для процессов конвективного теплообмена) при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем теле для любого момента времени, т. е. найти функцию вида: t = f(x, y, z, τ).
Процесс передачи тепла теплопроводностью объясняется обменом кинетической энергии между молекулами вещества и диффузией электронов. Эти явления имеют место, когда температура вещества в различных точках различна или когда контактируют два тела с различной степенью нагрева.
Основной закон теплопроводности (закон Фурье) гласит, что количество тепла, проходящее через гомогенное (однородное) тело в единицу времени, прямо пропорционально площади поперечного сечения, нормальной к потоку тепла, и температурному градиенту вдоль потока
где Р Т - мощность теплового потока, передаваемого теплопроводностью, Вт;
l - коэффициент теплопроводности, ;
d - толщина стенки, м;
t 1 , t 2 - температура нагретой и холодной поверхности, К;
S - площадь поверхности, м 2 .
Из этого выражения можно сделать вывод, что при разработке конструкции РЭС теплопроводящие стенки следует делать тонкими, в соединениях деталей обеспечивать тепловой контакт по всей площади, выбирать материалы с большим коэффициентом теплопроводности.
Рассмотрим случай передачи тепла через плоскую стенку толщиной d.
Рисунок 7.2 – Передача тепла через стенку
Количество тепла, передаваемого за единицу времени через участок стенки площадью S определится по уже известной формуле
Эту формулу сравнивают с уравнением закона Ома для электрических цепей. Нетрудно убедиться в их полной аналогии. Так количество тепла в единицу времени Р Т соответствует величине тока I, температурный градиент (t 1 - t 2) соответствует разности потенциалов U.
Отношение называют т е р м и ч е с к и м сопротивлением и обозначают через R Т,
Рассмотренная аналогия между протеканием теплового потока и электрического тока не только позволяет отметить общность физических процессов, но и облегчает проведение расчета теплопроводности в сложных конструкциях.
Если в рассмотренном случае элемент, который нужно охладить, располагается на плоскости имеющей температуру t СТ1 , то
t СТ1 = Р Т d/(lS) + t СТ2 .
Следовательно, для уменьшения t СТ1 нужно увеличить площадь теплоотводящей поверхности, уменьшить толщину передающей тепло стенки и выбирать материалы с большим коэффициентом теплопроводности.
Для улучшения теплового контакта необходимо уменьшать шероховатость контактирующих поверхностей, покрывать их теплопроводящими материалами и создавать контактное давление между ними.
Качество теплового контакта между элементами конструкции зависит также от электрического сопротивления. Чем меньше электрическое сопротивление контактной поверхности, тем меньше его термическое сопротивление, тем лучше теплоотвод.
Чем меньше теплоотводность окружающей среды, тем больше времени потребуется для установления стационарного режима теплообмена.
Обычно охлаждающей частью конструкции является шасси, корпус или кожух. Поэтому при выборе компоновочного варианта конструкции нужно смотреть, имеет ли выбранная для крепления охлаждающая часть конструкции условия для хорошего теплообмена с окружающей средой или теплостойком.
Реальные условия перуоса массы и энергии в различного рода теплотехнических процессах и явлениях природы характеризуются сложным комплексом взаимосвязанных явлений, включающих процессы радиационного, кондуктивж i конвективного теплообмена. Радиационно-кондуктивный теплообмен - к из наиболее распространенных видов теплообмена в природе и техник
Математическая форму овка задачи о радиационно-кондуктивном теплообмене вытекает из уравнения энергии, дополненного соответствующими граничными условиями. В частности, при исследовании радиационно-кондуктивного теплообмена в плоском слое поглощающей и излучающей среды с непрозрачными серыми границами задача сводится к решению уравнения энергии
(26.10.2)
с граничными условиями
Здесь - безразмерная плотность потока результирующего излучения; - критерий радиационно-кондуктивного теплообмена; - критерий зависимости теплопроводности среды от температуры; - безразмерная температура в сечении слоя толщиной .
Уравнение (26.10.1) представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, так как в соответствии с уравнением (26.9.13) описывается интегральным выражением, а искомое значение температуры представлено в уравнении (26.10.1) как в явном, так и в неявном виде через равновесное значение плотности потока излучения:
На рис. 26.19 даны результаты решения уравнения (26.10.1), полученные Н. А. Рубцовым и Ф. А. Кузнецовой сведением его к интегральному уравнению с последующим численным решением на ЭВМ методом Ньютона. Приведенные результаты по температурному распределению в слое поглощающей среды с осредненным по частоте значением коэффициента объемного поглощения свидетельствуют о принципиальной важности учета совместного, радиационно-кондуктивного взаимодействия в переносе суммарной тепловой энергии.
Рис. 26.19. Температурное распределение в слое поглощающей среды оптической толщины при
Обращает на себя внимание чувствительность эффектов взаимодействия к оптическим свойствам границ (особенно для малых значений критерия радиационно-кондуктивного теплообмена: .
Снижение излучательной способности горячей стенки (см. рис. 26.19) ведет к перераспределению ролей радиационной и кондуктивной составляющих потока тепловой энергии. Роль излучения в теплоотдаче горячей стенки падает, и примыкающая к ней среда нагревается за счет кондукции от стенки. Последующий перенос тепловой энергии к холодной стенке складывается из кондукции и излучения за счет собственного излучения среды, при этом температура среды снижается по сравнению с тем значением, которое имела бы среда в случае одного кондуктивного теплопереноса. Смена оптических свойств границ ведет к коренной перестройке температурных полей.
В последние годы в связи с широким внедрением криогенной техники принципиально важной оказалась проблема теплообмена излучением при криогенных температурах (исследования оптических свойств, эффективности теплоизоляции в сверхпроводящих устройствах и криостатах). Однако и здесь трудно представить себе процессы радиационного теплообмена в рафинированном виде. На рис. 26.20 приведены результаты экспериментальных исследований, выполненных Н. А. Рубцовым и Я. А. Бальцевичем и отображающих кинетику температурных полей в системе металлических экранов при температурах жидкого азота и гелия. Там же представлен расчет установившегося температурного поля по уравнениям (26.4.1) в предположении, что основной механизм переноса тепла - излучение. Расхождение экспериментальных и расчетных результатов свидетельствует о наличии дополнительного, кондуктивного механизма переноса тепла, связанного с наличием между экранами остаточных газов. Следовательно, анализ подобной теплопередающей системы также связан с необходимостью рассматривать взаимосвязанный радиационно-кондуктивный теплообмен.
Простейшим примером комбинированного радиационно-конвективного теплообмена является перенос тепла в плоском слое поглощающего газа, вдуваемого в турбулентный поток высокотемпературного газа, обтекающего проницаемую пластину. С подобного рода постановками задач приходится сталкиваться как при рассмотрении течения в окрестности лобовой точки, так и при анализе оттеснения пограничного слоя интенсивным вдувом поглощающего газа через пористую пластину.
Проблема в целом сводится к рассмотрению следующей краевой задачи:
при граничных условиях
Здесь - критерий Больцмана, характеризующий радиационно-конвективное соотношение составляющих потока тепла в среде с постоянными теплофизическими свойствами - характеристические значения (в невозмущенной области либо на границе неравновесной системы) соответственно скорости и температуры; - безразмерная функция распределения скорости в области оттеснения пограничного слоя.
На рис. 26.21 представлены результаты численного решения задачи (26.10.3) -(26.10.4) для частного случая: ; степень черноты проницаемой пластины ; излучательная способность набегающего потока для различных значений Во. Как видно, в случае малых Во, характеризующих низкую интенсивность подвода газа через пористую пластину, температурный профиль формируется за счет радиационно-конвективного теплообмена. По мере увеличения Во роль конвекции в формировании температурного профиля становится преобладающей. С ростом оптической толщины слоя температура несколько увеличивается при малых Во и соответственно уменьшается по мере увеличения Во.
На рис. 26.22 построена зависимость характеризующая вдув поглощающего газа, гэтребного для поддержания теплоизолированного состояния пластины в зависимости от оптической толщины слоя оттеснения. Отмечается резко выраженная зависимость критерия Во от при малых , когда незначительное присутствие поглощающей компоненты газа позволяет заметно снизить расход вдуваемого газа. Эффективным оказывается создание высоко-отражающей поверхности, при условии что оптическая толщина вдуваемого газа невелика Учет селективного характера поглощения излучения в рассматриваемых условиях не вносит принципиальных изменений в характер температурных профилей. Этого нельзя сказать о потоках излучения, расчет которых без учета оптических окон прозрачности ведет к серьезным погрешностям.
Рис. 26.21. Температурное распределение в слое завесы с оптической толщиной
Рис. 26.20. Расчетная и экспериментальная кинетика температурных полей в системе металлических экранов при температурах жидкого азота и гелия ( - номер экрана; время, ч)
Рис. 26.22. Зависимость Во от оптической толщины слоя при и соответственно
Принципиальная важность учета селективности излучения в тепловых расчетах неоднократно отмечается в работах Л. М. Бибермана, посвященных решению сложных задач радиационной газовой динамики.
Помимо прямых численных методов исследования комбинированного радиационно-конвективного теплообмена определенный практический интерес представляют приближенные способы расчета. В частности, рассматривая предельный закон теплообмена в турбулентном пограничном слое при относительно слабом воздействии теплового излучения
(26.10.5)
полагаем, что представляет собой безразмерный комплекс радиационно-конвективного теплообмена, где - суммарный критерий Стентона, отображающий турбулентно-радиационный перенос тепла на стенку. При этом Ест, где - суммарный тепловой поток на стенке, имеющий конвективную и радиационную составляющие.
Турбулентный тепловой поток q аппроксимируем, как обычно, полиномом третьей степени коэффициенты которого определяются из граничных условий:
где Е - безразмерная плотность полусферического результирующего излучения во внутренних граничных точках пограничного слоя.
В граничные условия (26.10.6) включено уравнение энергии, составленное соответственно для условий околостенной области и на границе невозмущенного потока. Учитывая, что , безразмерный параметр , необходимый для вычисления записываем следующим образом:
Заметим, что граничные условия (26.10.6) определялись принятым условием образования вблизи поверхности, обтекаемой излучающей средой, теплового пограничного слоя. Это существенное обстоятельство позволило полагать
Что выполняется в условиях преобладающей
Конвекции.
Значения и определяются из анализа решений относительно плотности результирующего излучения применительно к условию замкнутой системы, составляющей пограничный слой. Турбулентный пограничный слой рассматривается как серая поглощающая среда с коэффициентом поглощения не зависящим от температуры . Обтекаемая поверхность - это серое, оптически однородное изотермическое тело . Невозмущенная часть потока, за пределами пограничного слоя, излучает как объемное серое тело , не отражающее со своей поверхности и находящееся при температуре невозмущенного потока . Все это позволяет воспользоваться результатами предыдущего рассмотрения переноса излучения в плоском слое поглощающей среды с той существенной разницей, что здесь может быть учтено лишь однократное отражение от поверхности обтекаемой пластины.