STÁTNÍ ROZPOČTOVÉ ODBORNÉ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE SAMARSKÉHO REGIONU "POLYTECHNICKÁ VOŠ SYZRAN"
METODICKÝ ROZVOJ LEKCE GEOMETRIE
ROZVINUTÝ:
UČITELKA N.V.TIKHONOVA
Téma lekce: „Axiomy stereometrie“
Účel lekce: O zvládnutí základních pojmů stereometrie
úkoly:
Vzdělávací:
zvládnutí základních pojmů stereometrie;
seznámení se základními pojmy a axiomy stereometrie;
rozvíjení schopnosti přenášet znalosti z planimetrie do stereometrie.
Vzdělávací:
rozvoj kognitivních zájmů, intelektuálních a tvůrčích schopností v procesu plnění matematických úkolů;
rozvoj pozornosti, paměti, řeči, intelektuálního potenciálu, logického myšlení žáků;
rozvoj schopnosti vyzdvihnout to hlavní, porovnat studovaná fakta,
vyjadřovat myšlenky logicky a nacházet analogie;
rozšiřování obzorů studentů;
rozvoj informačních kompetencí.
Vzdělávací:
rozvoj schopnosti zdůvodnit vyjádřený postoj;
respektovat posudek oponenta, spolupracovat při společném plnění úkolů;
rozvíjet smysl pro kolektivismus a komunikaci během lekce.
Typ lekce: kombinovaný
Forma organizace studentských aktivit: skupinový, individuální.
Materiální a didaktické vybavení:
aplikace:
popis problému (příloha 1);
podnět k zamyšlení (příloha 2);
úkol prověřit asimilaci teoretického materiálu (příloha 3);
standardy odpovědí na přílohu 3 (příloha 4);
výsledková listina (příloha 5);
odraz (příloha 6);
návrh desky (příloha 7).
Organizační moment: seznámení studentů s tématem, sdělení účelu hodiny
(3 minuty)
Učitel: Dobrý den, dnes se začínáme učitnové odvětví geometrie tzv stereometrie.
Otázka: Co studuje nauka o geometrii? (geometrické útvary a jejich vlastnosti)
Otázka: Co znamená předpona „stereo“ a kde jste se s ní v životě setkali? (stereo zvuk, stereo obraz atd.). Stereo znamená objem, prostor.
Následně budeme studovat geometrické útvary a jejich vlastnosti, ale v prostoru.
Že. Stereometrie je obor geometrie, který studuje postavy ve vesmíru.
Budeme studovat trojrozměrný prostor, ve kterém žijeme (potřebujeme znát naše stanoviště).
Otázka: Pojmenujte jeho rozměry. (délka šířka výška)
Otázka: Myslíte, že existují i jiné prostory? No, například se čtvrtou dimenzí?
Proč ne. O tom se teď hodně mluví a píše. Oh, tys ho neviděl. Nebo možná tak jsou oči člověka navrženy! Vezměme si oko mouchy. Je navržena tak, aby na televizní obrazovce viděla každý snímek zvlášť, pro ni jsou tam stále obrázky, takže neletí z obrazovky, ať jsou tam zobrazeny jakékoli bitvy. Ale jakmile zvednete ruku, abyste s ním bouchli, okamžitě odletí, jeho oko je tak citlivé.
Učitel: Nyní jsme opustili letadlo do vesmíru, což znamená, že existuje více základních pojmů (obrázků). Naším úkolem je zjistit, který obrazec by měl být přidán k hlavním obrazcům v prostoru, a také naznačit jeho vlastnosti (tedy formulovat axiomy), protože nemůžeme uvést definici hlavního obrazce. Budeme studovat stereometrii ve srovnání s planimetrií a vezmeme si s sebou do vesmíru vše, co známe v rovině.
2. Konfrontace, motivace žáků
(2 minuty)
Učitel: Nauka o geometrii je konstruována logicky.
Jsou uvedeny základní geometrické pojmy (obrázky), které jsou uvedeny bez definic.
Jak například definoval německý renesanční umělec Albrecht Durer ve svých dílech o matematice: „Bod, který nemá ani velikost, ani délku, ani šířku, ani tloušťku. Ona je počátkem všech tělesných věcí, které bychom si chtěli ve své představivosti zkonstruovat nebo představit. Zobrazuje se jako tečkovaný znak s dotykem pera.“
Jsou formulovány axiomy, které nevyžadují důkaz, ale které odrážejí vlastnosti hlavních figur.
Věty jsou dokázané.
Na základě výše uvedeného se musíme rozhodnout- jaký další obrazec je třeba přidat k základním v planimetrii, abychom získali základní pojmy stereometrie a formulovali axiomy k jejímu vysvětlení(metaplán, příloha 1).
Informace(6 minut)
Učitel: Chcete-li tento problém vyřešit, musíte si osvěžit znalosti z planimetrie a najít odpovědi na položené otázky.
Vše, co se dotýká roviny, bude znázorněno na hnědých rovnoběžnících - část roviny (model - deska stolu, plocha notebooku atd.); Vše, co bude ve vesmíru, znázorníme na obláčku (jako by to bylo něco objemového).
Otázka: Nyní si vzpomeňte, z čeho jsou všechny geometrické tvary vyrobeny. (Z mnoha bodů).
To znamená, že rovina je množina bodů a prostor je množina bodů.
Řešení problému se může lišit, ale musíte si vybrat to, které je podle vašeho názoru nejsprávnější. K vyřešení tohoto problému jsou vám nabídnuty informace na tabuli a v informačním listu (Příloha 2).
(Informace na tabuli, viz Příloha 7).
Studie (3 minuty)
Učitel: Po prostudování informací o nich diskutujte s kamarádem ve vaší mikroskupině. Rozhodněte se, co musíte vzít v úvahu, abyste předložili svou odpověď.
Rozhodování (5 minut)
Učitel: Udělejte rozhodnutí, které je podle vašeho názoru nejsprávnější, a formalizujte ho v metaplánu.
Prezentace nebo diskuse (9 minut)
Učitel: Každá mikroskupina střídavě kreslí svůj výběr na magnetickou tabuli a uvádí důvody pro svůj výběr.
7. Smíření s původním řešením (7 minut)
Učitel: vzhledem k tomu, že do prostoru přibyl nový koncept letadlo, který nemá definici, pak je potřeba uvést jeho vlastnosti (axiomy), abychom tomuto obrázku správně porozuměli.
Vyvstávají otázky:
Co je to přímka?
Toto je množina bodů, nekonečná na obou stranách, ležících v nějaké rovině. Ale rovina je také soubor bodů. Proto axiom A1, podívejte se na tabuli a Dodatek 2.
co je prostor?
To je také množina bodů, a to nekonečná. A mezi nimi jsou body, které jsou v určité rovině. Proto
Axiom C 1: Ať je rovina jakákoli, existují body, které do roviny patří, a body, které do ní nepatří. (viz metaplán na tabuli)
Učitel: Pokud mikroskupina odpověděla správně, vloží „+“ do svého hodnotícího listu (příloha 5), pokud není správné nebo nepřesné, neuvede nic.
Můžeme navrhnout následující model tohoto axiomu: ve vesmírné lodi, kde stav beztíže rozmetal kbelík bobulí (teček). Některé bobule jsou na povrchu stolu (na rovině), některé jsou nad nebo pod jeho povrchem.
Kdo může přinést svůj model. Za sčítání získává mikroskupina další výhody na výsledkové listině.
Víte, když se dvě přímky protínají z Axiomu A 2. Jak určit průsečík dvou rovin?
Axiom C 2: Pokud mají dvě různé roviny bod, pak se protínají podél přímky procházející tímto bodem. (viz metaplán na tabuli)
Nezapomeňte své výsledky promítnout do výsledkové listiny.
Můžeme navrhnout následující model tohoto axiomu: pootevřená kniha.
Uveďte příklady modelů, lze je nalézt v jakékoli místnosti (průsečík dvou stěn).
K definování jedné přímky jsou potřeba pouze dva body. Co je potřeba k definování jedné roviny?
Axiom C 3: Pokud mají dvě různé čáry společný bod, lze jimi nakreslit rovinu, a to pouze jednu.
Kolik bodů je dáno dvěma protínajícími se čarami? (3 body)
Model: dveře (rovina) v kanceláři jsou upevněny na dvou pantech (bodech).
Tu zaujala jednu pozici, tu druhou atd. To znamená, že přes dva body můžete nakreslit mnoho rovin. A nyní ke dvěma bodům (závěsům) přidám ještě jeden na stejné lince (další závěs). co se změnilo? Nic. To znamená, že musíme vzít třetí bod, který neleží na stejné přímce jako první dva. Dveře zavírám na zámek nebo petlici (tečka). Všechno! Rovina (dveře) nelze posunout. Existuje pouze jedna poloha, a proto existuje pouze jedna rovina!
Za tento axiom, pokud je správně formulován, uveďte na hodnotící list dvě plus.
A co vaše modely? (Během této fáze učitel nakreslí svou možnost na magnetickou tabuli, aniž by odebíral možnosti studentů).
Kontrola aplikace získaných znalostí (6 minut)
Učitel: Jako rozcvičku nabízím všem klasický problém: Do kanceláře přiletěly tři mouchy. Kdy budou v letadle? (tuto otázku rádi kladou učitelé TSU uchazečům při přijímacích zkouškách).
A nyní má každý svůj úkol zkontrolovat asimilaci teoretické látky (příloha 3).
Poté si udělujeme známky pomocí výsledkových listin.
Shrnutí, reflexe. (4 minuty)
Učitel: Nyní se podívejme, jak jste zvládli teoretickou látku. K tomu mi předejte informační listy, na oplátku obdržíte kontrolní listy (Příloha 4). Každý z vás dělal práci samostatně. Zkontrolujte správnost svých odpovědí a promítněte je do archů se známkami.
Učitel: Vaše práce zanechala příjemný dojem. Jaký je váš názor na lekci? Na stolech máte karty - symboly. slunce - symbol dobrého počasí, a tedy i dobré nálady. Pokud se vám lekce líbila, byla zajímavá, užitečná, zvedněte při hlasování tuto kartu.
Pokud nebylo vše v lekci zajímavé, zvedněte Mrak - symbol proměnlivého počasí.
Pokud se vám lekce vůbec nelíbila a čas se nekonečně vlekl, zvyšte Měsíc - symbol toho, že jsem během této lekce chtěl jen spát.
A na závěr lekce chci říci, že věda o geometrii vznikla z praktické činnosti člověka. Toto složené slovo se skládá ze dvou částí: geo (z řečtiny ge -Země), ...metria (z řečtiny metro -měření). Proto doufám, že se dnes opět přesvědčíte o nutnosti studovat tuto vědu.
10.Úkoly na doma: body 1 a 2. zopakujte si kosinovou větu, planimetrické úlohy.
Děkuji všem za lekci.
Učit se matematiku je důležité dvěma způsoby:
za prvé kvůli silnému vlivu
tato přísná věda o rozvoji duševních schopností,
za druhé, šíří jeho aplikací.
M. Ostrogradského
Lekce geometrie
Plán lekce
Kontrola domácích úkolů
Učení nového tématu
Zadání domácího úkolu
Znalosti jsou tím nejskvělejším majetkem.
Všichni se o to snaží, ale nepřichází to samo.
Al - Biruni
Učení nového tématu
- Historie geometrie
- Základní pojmy geometrie
- Axiomy stereometrie
- Důsledky z axiomů
Záměry a cíle
- Operujte s pojmy bod, přímka, rovina, prostor.
- Seznamte se s axiomy stereometrie a jejich důsledky.
- Při řešení problémů aplikujte axiomy.
Historie geometrie
1 Vznik a definice geometrie
2 Hlavní etapy vývoje geometrie
Základní pojmy v geometrii
Geometrie― část matematiky, představující nauku o prostorových vztazích a tvarech těles; nauka o figurách a přeměna figur.
Věta - prohlášení zjištěné pomocí důkazů.
Axiom- pozice přijatá bez logického důkazu z důvodu okamžité přesvědčivosti.
Základní pojmy geometrie
Geometrie
Planimetrie
Stereometrie
obor geometrie, který studuje postavy umístěné v prostoru a vlastnosti těchto postav.
obor geometrie, který studuje vlastnosti geometrických obrazců v rovině.
Základní pojmy geometrie
Planimetrie
Letadlo
Tečka
Rovný
Prostor
Stereometrie
Základní pojmy geometrie
Letadlo― jedná se o model dokonale rovného a hladkého povrchu, nekonečně rozšířeného ve všech směrech.
Základní pojmy geometrie
Klasickým modelem prostoru je trojrozměrný euklidovský prostor.
Prostor je množina, jejíž prvky jsou body a ve které je splněn systém axiomů stereometrie popisující vlastnosti bodů, přímek a rovin.
Základní pojmy geometrie
Věty o stereometrii
Axiomy stereometrie
Axiom 1 (axiom příslušnosti k linii)
Pokud dva body přímky patří do roviny, pak celá přímka leží v této rovině.
Axiomy stereometrie
Axiom 2 (axiom o průsečíku rovin)
Pokud mají dvě roviny alespoň jeden společný bod, pak se protínají podél přímky procházející tímto bodem.
Axiomy stereometrie
Axiom tří bodů
Prostřednictvím libovolných tří bodů, které neleží na stejné čáře, můžete nakreslit rovinu, a to pouze jednu.
Axiomy stereometrie
Axiom kontinuita
Ve vesmíru jsou letadla. V jakékoli rovině jsou splněny všechny axiomy, a tedy i všechny věty planimetrie.
Důsledky z axiomů
Věta 1
Prostřednictvím dvou protínajících se čar můžete nakreslit rovinu a pouze jednu.
Důsledky z axiomů
Věta 2
Prostřednictvím dvou rovnoběžných čar můžete nakreslit rovinu a pouze jednu.
Důsledky z axiomů
Věta 3
Prostřednictvím libovolné přímky a bodu, který k ní nepatří, lze nakreslit rovinu, a to pouze jednu.
Důsledky z axiomů
Komentář
Libovolnou přímkou v prostoru lze nakreslit nekonečné množství rovin.
Příliš rozptýlená mysl není schopna věci chápat.
D. Cardano
Axiom 1
Axiom 2
Axiom 3
Axiom 4
Axiomy stereometrie
Ve vesmíru jsou letadla.
V jakékoli rovině jsou splněny všechny axiomy, a tedy i všechny věty planimetrie .
Prostřednictvím libovolných tří bodů, které neleží na stejné čáře, můžete nakreslit rovinu, a to pouze jednu.
Pokud dva body přímky patří do roviny, pak celá přímka leží v této rovině.
Pokud mají dvě roviny alespoň jeden společný bod, pak se protínají podél přímky procházející tímto bodem.
Axiomy stereometrie popisují:
Metoda pro definování roviny
Důsledky z axiomů
Prostřednictvím libovolné přímky a bodu, který k ní nepatří, lze nakreslit rovinu, a to pouze jednu
Prostřednictvím dvou protínajících se čar můžete nakreslit rovinu a navíc pouze jednu
Prostřednictvím dvou rovnoběžných čar můžete nakreslit rovinu a navíc pouze jednu
Metody pro definování roviny
Rovinu lze nakreslit třemi body
Můžete kreslit přes přímku a bod, který na ní neleží
Lze kreslit přes dvě protínající se čáry
Věta 1
Věta 3
Axiom 3
Je pravda, že žádné čtyři body neleží ve stejné rovině?
Je pravda, že rovina prochází libovolnými třemi body a pouze jedním?
Body A, B, C, D neleží ve stejné rovině, mohou kterékoli tři z nich ležet na stejné přímce?
Mohou mít dvě roviny pouze jeden společný bod?
Mohou mít dvě roviny společné pouze dva body?
Body A, B, C, D neleží ve stejné rovině, mohou se přímky AB a CD protínat?
Mohou mít dvě roviny společnou pouze jednu přímku?
Je pravda, že pokud dva body kružnice leží v rovině, pak celá kružnice leží v této rovině?
Je pravda, že pokud tři body kružnice leží v rovině, pak celá kružnice leží v této rovině?
1) čtyři body ležící v rovině SAB, v rovině ABC;
2) rovina, ve které leží přímka MN, přímka KM;
3) přímka, podél které se protínají roviny ASC a SBC, roviny SAC a CAB.
Pomocí tohoto obrázku pojmenujte:
1) roviny obsahující přímku DE, přímku EF;
2) dvě roviny protnuté přímkou SB; přímý AC.
B 1
C 1
A 1
D 1
Pomocí tohoto obrázku pojmenujte:
1) přímka, podél které se protínají roviny BCD a AA 1 D 1; roviny ADC a A 1 B 1 B;
2) rovina, která se neprotíná s přímkou CD 1; s přímkou BC 1
Všechna umění tíhnou k hudbě; všechny vědy souvisejí s matematikou.
J. Santayana
Naše poznání nemůže mít nikdy konec právě proto, že předmět poznání je nekonečný.
B. Pascal
- Co je stereometrie?
- Vznik a vývoj stereometrie
- Základní postavy ve vesmíru
- Označení bodů a příklady jejich modelů
- Označení přímek
- Příklady přímek
- Označení letadel a příklady jejich modelů
- Co ještě stereometrie studuje?
- Předměty a geometrická tělesa kolem nás
- Obrázek geometrických těles ve výkresech
- Praktický (aplikovaný) význam stereometrie
- Axiomy stereometrie
- Důsledky z axiomů stereometrie
- Konsolidace
- Použité knihy
Co je stereometrie?
Stereometrie je obor geometrie, ve kterém se studují vlastnosti obrazců v prostoru.
Vznik a vývoj stereometrie.
- Vývoj stereometrie začal mnohem později než planimetrie.
- Stereometrie se vyvinula z pozorování a řešení otázek, které vyvstaly v procesu praktické lidské činnosti.
- Již primitivní člověk, který se pustil do zemědělství, se pokoušel odhadnout, alespoň v hrubých rysech, velikost sklizně, kterou shromáždil podle mas obilí naskládaných na hromady, hromady nebo stohy.
- Stavitel i těch nejstarších primitivních staveb musel nějak zohlednit materiál, který měl k dispozici, a umět si spočítat, kolik materiálu bude potřeba na stavbu konkrétní stavby.
- Kamenictví u starých Egypťanů a Chaldejců vyžadovalo obeznámenost s metrickými vlastnostmi alespoň těch nejjednodušších geometrických těles.
- Potřeba zemědělství, navigace a orientace v čase hnala lidi k astronomickým pozorováním a ta ke studiu vlastností koule a jejích částí a následně i zákonů vzájemné polohy rovin a přímek v prostoru.
Základní postavy ve vesmíru.
Rovina je geometrický útvar, který se neomezeně rozprostírá ve všech směrech.
Označení bodů a příklady jejich modelů.
Body jsou označeny velkými latinskými písmeny A, B, C, ...
Příklady bodových modelů jsou:
atomů a molekul
planet ve vesmírném měřítku
Označení přímek.
- Přímé linky jsou určeny:
- malá latinská písmena a, b, c, d, e, k, …
- dvě velká latinská písmena AB, CD...
Příklady modelů přímek.
Příklady rovných modelů zahrnují:
kondenzační stopy letadla
Označení letadel a příklady jejich modelů.
Roviny jsou označeny řeckými písmeny α, β, γ,…
Příklady modelů letadel zahrnují:
vodní plocha
povrch stolu
Co ještě stereometrie studuje?
Stereometrie spolu s bodem, přímkou a rovinou studuje geometrická tělesa a jejich povrchy.
Předměty a geometrická tělesa kolem nás.
Předměty kolem nás dávají představy o geometrických tělesech.
A studiem vlastností geometrických útvarů – imaginárních objektů získáváme informace o geometrických vlastnostech reálných objektů a můžeme tyto vlastnosti využít v praktických činnostech.
polyhedra krystaly
plechovka - válec
balení cukroví - kornout
Obrázky geometrických těles ve výkresech.
- Obraz prostorové postavy je její projekce do určité roviny.
- Neviditelné části postavy jsou znázorněny přerušovanými čarami.
Praktický (aplikovaný) význam stereometrie.
- Geometrická tělesa jsou fiktivní objekty
- Studiem vlastností geometrických útvarů získáváme představy o geometrických vlastnostech reálných objektů (jejich tvar, vzájemná poloha atd.)
- Stereometrie je široce používána ve stavebnictví, architektuře, strojírenství a dalších oblastech vědy a techniky.
Axiomy stereometrie.
- Axiom- toto tvrzení o vlastnostech geometrických útvarů je přijímáno jako východiska, na jejichž základě se dokazují další věty a obecně se konstruuje veškerá geometrie.
Axiomy stereometrie.
A1 . Jakýmikoli třemi body, které neleží na stejné přímce, prochází rovina, a to pouze jedna.
Axiomy stereometrie.
A2 . Leží-li dva body přímky v rovině, pak všechny body této přímky leží v této rovině.
V tomto případě říkají, že přímka leží v rovině nebo rovina přímkou prochází.
Axiomy stereometrie.
A3. Pokud mají dvě roviny společný bod, pak mají společnou přímku, na které leží všechny společné body těchto rovin.
Říká se, že roviny se protínají v přímce
Důsledky z axiomů.
Věta 1: Rovina, a to pouze jedna, prochází přímkou a bodem, který na ní neleží.
Věta 2: Rovina prochází dvěma protínajícími se přímkami a pouze jednou.
Konsolidace.
1.Pojmenujte roviny, ve kterých přímky leží:
Konsolidace.
2. Pojmenujte průsečík přímky CE s rovinou ADB.
3. Pojmenujte přímky, podél kterých se roviny protínají:
Použité knihy
- Geometrie. 10.–11. ročník: učebnice. Pro všeobecné vzdělání instituce: základní a profilové. úrovně/P.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol., 21. vyd. – M.: Vzdělávání, 2012.- 255 s.: nemoc.
- Geometrie: metodická příručka pro VŠ a učitele středních škol: 2. část Stereometrie / ed. Prof. I.K. Andronová.
Série lekcí na téma: „Axiomy stereometrie“ se skládá z následujících lekcí:
1. Předmět stereometrie. Axiomy stereometrie"
2. Některé důsledky z axiomů.
3;4. Řešení problémů s aplikací axiomů a jejich důsledky.
5. Řešení úloh na aplikaci axiomů stereometrie a jejich důsledky. Samostatná práce.
Ke každé lekci je připravena prezentace.
Stažení:
Náhled:
Série lekcí na téma: "Axiomy stereometrie a jejich důsledky."
Lekce 1. Předmět stereometrie. Axiomy stereometrie.
Cíle lekce:
- seznámit studenty s obsahem kurzu stereometrie;
- studovat axiomy o vzájemné poloze bodů, přímek a rovin v prostoru;
- naučit se používat axiomy stereometrie při řešení problémů.
Během lekcí:
Snímek 1.
1. Organizační moment.
2. Studium nového materiálu.
Učitel: Již tři roky, počínaje 7. třídou, studujeme školní geometrii.
Snímek 2 Otázky pro studenty:
Co je geometrie? (Geometrie je věda o vlastnostech geometrických tvarů)
Co je to planimetrie? (Planimetrie je úsek geometrie, ve kterém se studují vlastnosti obrazců v rovině)
Jaké základní pojmy z planimetrie znáte? (bod, přímka)
Učitel: Dnes začínáme studovat novou sekci geometrie - stereometrii.
Snímek 3. Stereometrie je obor geometrie, který studuje vlastnosti obrazců v prostoru. (Studenti si zapisují do sešitů)
Snímek 4. Základní pojmy prostoru: bod, přímka, rovina.
Představa roviny je dána hladkým povrchem stolu, stěny, podlahy, stropu atd. Rovinu jako geometrický útvar si musíme představit jako rozprostírající se ve všech směrech, nekonečno. Roviny jsou označeny řeckými písmeny α, β, γ atd.
1. Pojmenujte body ležící v rovině β; neleží v rovině β.
2. Pojmenujte přímky: ty ležící v rovině β; neleží v rovině β.
Snímek 5. Máme jasnou představu o základních pojmech (bod, přímka, rovina) a nejsou jim dány definice. Jejich vlastnosti jsou vyjádřeny v axiomech.
Spolu s bodem se ve stereometrii uvažuje přímka, rovina, geometrická tělesa (krychle, kvádr, válec, čtyřstěn, kužel atd.), studují se jejich vlastnosti, počítají se jejich plochy a objemy. Objekty kolem nás nám dávají představu o geometrických tělesech.
Snímek 6. Otázky pro studenty:
Jaká geometrická tělesa vám připomínají objekty zobrazené na těchto obrázcích?
Pojmenujte předměty ze svého prostředí (naše učebna), které vám připomínají geometrická tělesa.
Snímek 7. Praktická práce (v sešitech)
1. Nakreslete si do sešitu krychli (viditelné čáry jsou plné, neviditelné tečkované).
2. Označte vrcholy krychle velkými písmeny ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
3. Zvýrazněte barevnou tužkou:
- vrcholy A, C, B1, D1 ; segmenty AB, CD, B 1 S, D 1 S; úhlopříčky čtverce AA 1 V 1 V.
Upozorňovat žáky na viditelné a neviditelné čáry v kresbě; obrázek čtverce AA 1 v 1 Ve vesmíru.
Snímek 8. Otázky pro studenty:
Co je to axiom? Jaké znáte axiomy planimetrie?
V prostoru jsou základní vlastnosti bodů, přímek a rovin ohledně jejich vzájemné polohy vyjádřeny axiomy.
Snímek 9. Žáci si dělají poznámky a kreslí do sešitů.
Axiom 1. (A1) Prostřednictvím libovolných 3 bodů, které neleží na stejné přímce, existuje rovina, a to pouze jedna.
Snímek 10. Všimněte si, že pokud vezmete ne 3, ale 4 libovolné body, pak jimi nesmí procházet ani jedna rovina, to znamená, že 4 body nemusí ležet ve stejné rovině.
Snímek 11. Axiom 2. (A2) Leží-li 2 body přímky v rovině, pak všechny body přímky leží v této rovině. V tomto případě říkají, že přímka leží v rovině nebo rovina přímkou prochází.
Snímek 12. Otázka pro studenty:
Kolik bodů má společných přímka a rovina? (obr. 1 - nekonečně mnoho; obr. 2 - jedna)
Snímek 13. Axiom 3. (A3) Mají-li dvě roviny společný bod, pak mají společnou přímku, na které leží všechny společné body těchto rovin.
V tomto případě se říká, že roviny se protínají v přímce.
3. Konsolidace studovaného materiálu.
Snímek 14. Řešení úloh z učebnice č. 1(a,b), 2(a).
Studenti si přečtou podmínky úloh a na základě obrázku na snímku dají odpověď s vysvětlením.
Úkol 1.
a) P, E (ADV) RE (ADV) podle A 2
Podobné jako MK (VDS)
V,D (ADV) a (VDS) VD (ADV) a (ICE)
Podobné jako AB (ADV) a (ABC)
C, E (ABC) a (DES) CE (ABC) a (DES)
b) C (DK) a (ABC) DK ∩ (ABC) = S. Protože není více než jeden průsečík přímky a roviny (přímka neleží v rovině), pak je to jediný bod.
Podobně CE ∩ (ADV) = E.
Problém 2(a)
V rovině DSS 1: D, S, S 1, D 1 , K, M, R. V rovině BQC: B 1, B, P, Q, C1, M, S.
Snímek 15. 4. Shrnutí lekce.Otázky pro studenty:
- Jak se jmenuje sekce geometrie, kterou budeme studovat v 10.–11. ročníku?
- Co je stereometrie?
- Pomocí nákresu formulujte axiomy stereometrie, které jste se dnes naučili ve třídě.
Snímek 16. 5. Domácí úkol.
Lekce 2. Některé důsledky z axiomů.
Cíle lekce:
Zopakujte si axiomy stereometrie a jejich aplikaci při řešení domácích úloh;
Seznámit studenty s důsledky axiomů;
Naučit aplikovat důsledky z axiomů při řešení problémů a také upevnit schopnost používat axiomy stereometrie při řešení problémů;
Opakujte vzorce pro výpočet plochy kosočtverce.
Během vyučování.
Snímek 1. 1. Organizační moment.Sdělte téma a cíle lekce.
Snímek 2
1) Formulujte axiomy stereometrie a nakreslete na tabuli.
2) č. 1 (c, d); 2(b,d).
Studenti ústně odpovídají na otázky domácího úkolu podle obrázku na snímku.
Snímek 3. 3. Studium nového materiálu.Uvažujme a dokažme důsledky axiomů.
Věta 1. Rovina prochází přímkou a bodem, který na ní neleží, a pouze jednou rovinou.
Studenti si zapisují znění do sešitu a po zodpovězení otázek učitele si do sešitu dělají vhodné poznámky a nákresy.
Co je dáno ve větě? (přímka a bod, který na ní neleží)
Co je potřeba dokázat? (mine letadlo; jeden)
Co lze použít jako důkaz? (axiomy stereometrie)
Který axiom nám umožňuje sestrojit rovinu? (A1, rovina prochází třemi body a pouze jedním)
Co je v této větě a co chybí k použití A1 (máme bod; jsou potřeba další dva body)
Kde bychom měli postavit další dva body? (na tomto řádku)
Jaký závěr můžeme vyvodit? (stavíme rovinu přes tři body)
Patří čára do této roviny? (Ano)
Na jakém základě lze učinit tento závěr? (na základě A2: pokud dva body přímky patří do roviny, pak celá přímka patří do roviny)
Kolik rovin lze nakreslit danou přímkou a daným bodem? (jeden)
Proč? (protože rovina procházející přímkou a rovina prochází daným bodem a dvěma body na přímce, pak je podle A1 tato rovina jediná)
Snímek 4. Věta 2. Rovina prochází dvěma protínajícími se přímkami a pouze jednou.
Studenti dokážou větu sami, poté si poslechnou několik důkazů a doplní a upřesní (pokud je to nutné)
Věnujte pozornost skutečnosti, že důkaz není založen na axiomech, ale na Důsledku 1.
Snímek 5. 4. Konsolidace studovaného materiálu.
Problém 6 (z tutoriálu)
Studenti pracují ve svých sešitech, navrhují vlastní řešení a poté své řešení porovnávají s řešením na obrazovce. Jsou analyzovány dva případy: 1) body neleží na stejné čáře; 2) body leží na stejné přímce.
Snímek 6.7. Problém na snímku. Studenti si přečtou podmínky, udělají nákres a udělají si potřebné poznámky do sešitu. Učitel vede frontální práci se třídou na problematice úkolu. Při řešení problému opakujeme vzorce pro výpočet plochy kosočtverce.
Dáno: ABCD – kosočtverec, AC∩VD=O, M, (A,D,O); AB = 4 cm, A = 60°.
Najít: (B,C) ; D (MOU); (MOV)∩(ADO); S ABECEDA.
Řešení:
Věnujte pozornost skutečnosti, že pokud mají dvě roviny společné body, pak se protínají podél přímky procházející těmito body.
5. Shrnutí:
Formulujte axiomy stereometrie.
Formulujte důsledky z axiomů.
Cíl lekce byl splněn. Axiomy stereometrie byly opakovány, důsledky axiomů byly naučeny a byly aplikovány na řešení problémů.
Označení (s komentáři)
Snímek 8. 6. Zadání domácího úkolu:
Lekce 3. Řešení úloh pomocí axiomů stereometrie a jejich důsledky.
Cíle lekce:
Zopakujte si axiomy stereometrie a jejich důsledky;
Rozvinout dovednost používat axiomy stereometrie a jejich důsledky při řešení problémů;
Student zná axiomy stereometrie a jejich důsledky a umí je aplikovat při řešení problémů.
Během vyučování.
Snímek 1. 1. Organizační moment.Sdělte téma a cíle lekce.
2. Aktualizace znalostí studentů.
1) Kontrola domácích úkolů na základě žákovských otázek.
Před vyučováním si vezměte sešity s domácími úkoly od několika studentů ke kontrole.
2) Dva studenti připraví na tabuli důkaz o důsledcích z axiomů.
3) Dva studenti (úroveň 1) a dva studenti (úroveň 2) pracují pomocí samostatných anketních karet. Skluzavka.
4) Frontální práce se studenty.
Snímek 2. Dáno: krychle ABCDA1B1S1D1
Nalézt:
- Několik bodů, které leží v rovině α; (ABECEDA)
- Několik bodů, které neleží v rovině α; (A 1, B 1, C 1, D 1)
- Několik přímek, které leží v rovině α; (AB, BC, SD, AD, AS, VD)
- Několik přímek, které neleží v rovině α; (A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, A 1 C 1, B 1 D 1, AA 1, BB 1, SS 1, DD 1)
- Několik přímek, které protínají přímku BC; (BB 1, SS 1)
- Několik linií, které neprotínají linii BC. (AD, AA 1 …)
Snímek 3. Vyplňte prázdná místa, abyste uvedli správné tvrzení:
Snímek 4. Jsou přímky AA? 1 , AB, AD ve stejné rovině? (Přímé AA 1 , AB, AD procházejí bodem A, ale neleží ve stejné rovině)
3. Řešení problémů.
Snímek 5. Žáci řeší úlohy č. 7, 10, 14 z učebnice, dělají vhodné kresby a poznámky na tabuli a do sešitů.
Úkol č. 7.
2) Leží všechny přímky procházející bodem M ve stejné rovině?
Řešení: Z důsledků 2:
2) Všechny přímky procházející bodem M nemusí nutně ležet ve stejné rovině. (viz příklad ze snímku 4)
Úkol 10. Žáci řeší problém samostatně (obdoba úkolu č. 7). Učitel výběrově odebírá sešity ke kontrole a žákům, kteří úkol nesplnili, poskytuje individuální pomoc při řešení problému.
Úloha č. 14. Řešení: Všechny přímky a, b, c leží ve stejné rovině. V tomto případě můžeme pomocí Důsledku 2 nakreslit rovinu a jedna rovina prochází třemi přímkami.
Jedna ze tří přímek, například c, neleží v rovině α definované přímkami a a b. V tomto případě procházejí danými třemi přímkami tři různé roviny, definované dvojicemi přímek a a b, a a c, b a c.
Snímek 6. Studenti si do sešitu vytvoří kresbu a potřebné konstrukce a poznámky. Při konstrukci žáci vyslovují axiomy a výsledek konstrukce se zapisuje pomocí symboliky.
Úkol. Je dáno: krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
t.M leží na okraji výbušniny 1 , t.N leží na hraně CC 1 a bod K leží na hraně DD 1
a) Pojmenujte roviny, ve kterých leží body M; N.
b) najděte t.F-bod průsečíku přímek MN a BC. Jakou vlastnost má bod F?
c) najděte průsečík přímky KN a roviny ABC.
d) najděte průsečík rovin MNK a ABC.
Řešení:
Snímek 7. Pro vyřešení dalšího problému zopakujeme vzorec pro výpočet plochy čtyřúhelníku. Odvození vzorce je analyzováno na snímku.
Žáci si vzorec zapíší do sešitu.
Snímek 8. Dokažte to že všechny vrcholy čtyřúhelníku ABCD leží ve stejné rovině, pokud se jeho úhlopříčky AC a WD protínají.
Vypočítat plocha čtyřúhelníku, pokud AC┴VD, AC = 10 cm, VD = 12 cm.
Odpověď: 60 cm 2
4. Shrnutí lekce.
Co způsobilo obtíže? Učitel vyhlašuje známky za hodinu s komentářem.
Snímek 9.
Lekce 4. Řešení úloh pomocí axiomů stereometrie a jejich důsledky.
Cíle lekce:
Provést test ze znalostí axiomů stereometrie a jejich důsledků;
Upevnit rozvinutou dovednost používat axiomy stereometrie a jejich důsledky při řešení problémů;
Recenze: Pythagorova věta a její aplikace; vzorce pro výpočet plochy rovnostranného trojúhelníku, obdélníku.
Během vyučování.
Snímek 1. 1. Organizační moment.Sdělte téma a cíle lekce.
Snímek 2 2. Kontrola domácích úkolů.
Před vyučováním si vezměte sešity s domácími úkoly od několika studentů ke kontrole.
Dva studenti si u tabule - č. 9, 15 připravují řešení úloh z domácích úkolů.
Zbytek studentů odpovídá na otázky matematického diktátu na snímku.
Snímek 3. 3. Řešení problémů (frontální práce se třídou)
Úkol č. 1.
Je dán čtyřstěn MABC, jehož každá hrana je 6 cm.
- Pojmenujte přímku, podél které se roviny protínají: a) MAV a MFC; b) Lékaři bez hranic a ABC.
- Najděte délky CF a SABC
- Jak sestrojit průsečík přímky DE s rovinou ABC?
Otázky pro studenty (v případě potřeby):
Které body současně patří do obou rovin. Na základě jakého axiomu lze učinit závěr?
Uveďte vlastnost mediánu rovnoramenného trojúhelníku.
Vyslovte Pythagorovu větu.
Proč lze v tomto případě použít Pythagorovu větu?
Jak můžete vypočítat obsah rovnostranného trojúhelníku?
Je vždy možné sestrojit průsečík přímky DE s rovinou ABC?
Snímek 4. Úkol č. 2.
- Jak sestrojit průsečík roviny ABC s přímkou D 1 R?
- Jak sestrojit průsečík roviny AD 1 Р a АВВ 1 ?
- Vypočítejte délku segmentů AP a AD 1, pokud AB = a
Řešení:
Snímek 5. Úkol č. 3.
Dáno : Body A, B, C neleží na stejné přímce.
Dokázat že bod P leží v rovině ABC.
Pomocí animace na snímku žáci kreslí vhodné konstrukce a potřebné závěry. Dělejte si poznámky do sešitů pomocí matematických symbolů, vyslovujte odpovídající axiomy a důsledky z axiomů.
Otázky pro studenty (v případě potřeby):
Když víme, že body A, B, C neleží na stejné přímce, jaký závěr lze vyvodit?
Pokud body A a B leží v rovině, jaký závěr lze vyvodit o přímce AB?
Jaký závěr lze vyvodit o bodu M?
Pokud body A a C leží v rovině, jaký závěr lze vyvodit o přímce AC?
Jaký závěr lze vyvodit o bodu K?
Když víme, že body M a K leží v rovině, jaký závěr lze vyvodit o přímce MK?
Jaký závěr lze vyvodit o bodu P?
Řešení (jiný způsob, jak dokázat):
AB∩AC=A. Druhým důsledkem přímky AB a AC definují rovinu α. Bod M patří do AB, a tedy patří do roviny α, a bod K patří do AC, a tedy do roviny α. Podle axiomu A2: MC leží v rovině α. Bod P patří do MC, a tedy do roviny α.
Snímek 6. Úkol č. 4.
Roviny α a β se protínají podél přímky c. Přímka a leží v rovině α a protíná rovinu β. Protínají se přímky a a c? Proč?
Otázky pro studenty (v případě potřeby):
Když víme, že přímka a protíná rovinu β, jaký závěr lze vyvodit? (Přímka a rovina mají společný bod, například bod B)
Jakou vlastnost má bod B? (Bod B patří přímce a, rovině α a rovině β)
Jestliže bod patří současně dvěma rovinám, co pak můžeme říci o vzájemných polohách rovin? (roviny se protínají v přímce, například c)
Jaká je vzájemná poloha bodu B a přímky c? (bod B patří do řádku c)
S vědomím, že bod B patří k přímce a i přímce c, jaký závěr lze o těchto přímkách vyvodit? (čáry se protínají v bodě B)
Snímek 7. Úkol č. 5.
Je-li dán obdélník ABCD, O je průsečík jeho úhlopříček. Je známo, že body A, B, O leží v rovině α. Dokažte, že body C a D také leží v rovině α. Vypočítejte obsah obdélníku, pokud AC = 8 cm, AOB = 60º.
Úloha je určena k samostatnému řešení s diskusí o řešení a poskytování individuální pomoci studentům. Je užitečné diskutovat o různých způsobech, jak najít oblast obdélníku:
Vyzvěte studenty, aby problém řešili různými způsoby. Odpověď: 16 cm 2.
4. Shrnutí lekce:
Jaké axiomy a teorémy jsme používali ve třídě při řešení úloh? Formulujte to.
Jaké úkoly byly nejzajímavější, nejtěžší?
Co bylo pro vás osobně během lekce užitečné?
Co způsobilo obtíže?
Udělování známek za lekci (s komentářem ke každé známce)
Snímek 8. 5. Nastavení domácího úkolu:
Lekce 5. Řešení úloh pomocí axiomů stereometrie a jejich důsledky. Samostatná práce (20 min.)
Cíle lekce:
Upevnit asimilaci teoretických problémů v procesu řešení problémů;
Prověřit úroveň připravenosti studentů prováděním samostatné práce kontrolního charakteru.
Během vyučování.
Snímek 1. 1. Organizační moment.
Sdělte téma a cíle lekce.
Snímek 2 2. Kontrola domácích úkolů.
Před vyučováním si vezměte sešity s domácími úkoly od několika studentů ke kontrole.
Úkol 1.
Přímky a a b se protínají v bodě O, A a, B, P AB. Dokažte, že přímky a, b a bod P leží ve stejné rovině.
Řešení:
Snímek 3. Úkol 2.
Na tomto obrázku rovina α obsahuje body A, B, C, D, ale neobsahuje bod M. Sestrojte bod K - průsečík přímky AB a roviny MSD. Leží bod K v rovině α?
Řešení:
Snímky 4, 5, 6 3. Ústní řešení úloh k opakování teorie (na základě diapozitivů)
Snímky 7,8 4. Samostatná práce(víceúrovňový, kontrolní charakter) Studenti si volí svou úroveň obtížnosti.
5. Shrnutí.
1) Sbírejte sešity se samostatnou prací.
2) Vyhlášení známek s komentářem.
Snímek 9. 6. Domácí úkol.
Náhled:
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
Téma lekce 1: "Předmět stereometrie. Axiomy stereometrie."
Co je geometrie? Geometrie je věda o vlastnostech geometrických útvarů „Geometrie“ - (řecky) - „zeměměřictví“ - Co je to planimetrie? Planimetrie je obor geometrie, ve kterém se studují vlastnosti obrazců v rovině. A a Základní pojmy planimetrie: přímý bod - Základní pojmy planimetrie?
Stereometrie je obor geometrie, který studuje vlastnosti obrazců v prostoru
Základní obrazce v prostoru: bodová přímá rovina α β Označení: A; V; S; ...; M;... a A B M N P Označení: a, b, c, d..., m, n,... (nebo dvě velká latinská písmena) Označení: α, β, γ... Odpovězte na otázky na základě obrázek: 1. Pojmenujte body, ležící v rovině β; neleží v rovině β. 2. Pojmenujte přímky ležící v rovině β; neleží v rovině β
Některá geometrická tělesa. A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 krychle A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 rovnoběžnostěn A B C D čtyřstěn válcový kužel
Pojmenujte, jaká geometrická tělesa vám objekty vyobrazené na těchto obrázcích připomínají: Pojmenujte předměty z okolí (naše učebna), které vám geometrická tělesa připomínají.
Praktická práce. 1. Nakreslete si do sešitu krychli (viditelné čáry jsou plné, neviditelné tečkované). 2. Označte vrcholy krychle velkými písmeny ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 3. Označte barevnou tužkou: vrcholy A, C, B 1, D 1 segmenty AB, CD, B 1 S, D 1 S čtvercová úhlopříčka AA 1 B 1 B
Co je to axiom? Axiom je výrok o vlastnostech geometrických útvarů, je přijímán jako výchozí bod, na jehož základě se dokazují další věty a obecně se buduje veškerá geometrie. Axiomy planimetrie: - libovolnými dvěma body lze kreslit přímku a navíc pouze jeden. Ze tří bodů na přímce leží jeden, a pouze jeden, mezi dalšími dvěma. jsou alespoň tři body, které neleží na stejné přímce...
Axiomy stereometrie. A B C A1. Jakýmikoli třemi body, které neleží na stejné přímce, prochází rovina, a to pouze jedna. α
Pokud nejsou nohy stolu stejně dlouhé, tak stůl stojí na třech nohách, tzn. spočívá na třech „bodech“ a konec čtvrté nohy (čtvrtý bod) neleží v rovině podlahy, ale visí ve vzduchu.
Axiomy stereometrie. A B α A2. Leží-li dva body přímky v rovině, pak všechny body této přímky leží v této rovině. Říká se: přímka leží v rovině nebo rovina prochází přímkou.
a M Přímka leží v rovině Přímka protíná rovinu Kolik bodů má přímka a rovina společných?
Axiomy stereometrie. α β A3. Pokud mají dvě roviny společný bod, pak mají společnou přímku, na které leží všechny společné body těchto rovin. Říká se: roviny se protínají v přímce. A a
Řešte úlohy: č. 1 (a, b); 2(a) A B C D R E K M A V C D A 1 B 1 C 1 D 1 Q P R K M Pojmenujte z obrázku: a) roviny, ve kterých leží přímky DV, AB, MK, PE, EC; b) průsečíky přímky DK s rovinou ABC, přímky CE s rovinou ADV. a) body ležící v rovinách DSS 1 a B Q C č. 1 (a, b) č. 2 (a)
Shrňme si lekci: 1) Jak se jmenuje sekce geometrie, kterou budeme studovat v 10.–11. ročníku? 2) Co je to stereometrie? 3) Pomocí nákresu zformulujte axiomy stereometrie, které jste se dnes naučili ve třídě. A A B B α α A α β
Věta 1. Rovina prochází přímkou a bodem, který na ní neleží, a pouze jednou rovinou. Dáno: a, M ¢ a Dokažte: (a, M) s α α je jediné a M α Důkaz: 1 . R, O s a; ( P, O, M ) ¢ a P O Podle axiomu A1: body P, O, M prochází rovina. Podle axiomu A2: protože dva body přímky patří do roviny, pak do této roviny patří celá přímka, tzn. (a, M) s a2. Jakákoli rovina procházející přímkou a a bodem M prochází body P, O a M, což podle axiomu A1 znamená, že je jedinečná. Atd. Některé důsledky z axiomů:
Věta 2. Rovina prochází dvěma protínajícími se přímkami a pouze jednou. Dáno: a ∩ b Dokaž: 1. (a∩ b) s α 2. α je jediné a b M N α Důkaz: 1. Rovina α prochází a a H a, H b. (M, H) α , (M, H) b , což znamená, že A2 všechny body b patří do roviny. 2. Rovina prochází a a b a je jednoznačná, protože jakákoli rovina procházející přímkami a a b prochází také H, což znamená, že α je jedinečné.
Řešte úlohu č. 6 A B C α Tři dané body jsou spojeny po dvojicích úsečkami. Dokažte, že všechny segmenty leží ve stejné rovině. Důkaz: 1. (A,B,C) α, což znamená, že podél A1 prochází pouze jedna rovina A,B,C. 2. Dva body každého segmentu leží v rovině, což znamená A2 všechny body každého segmentu leží v rovině α. 3. Závěr: AB, BC, AC leží v rovině α 1 případ. A B C α 2 případ. Důkaz: Protože 3 body patří jedné přímce, pak podle A2 leží všechny body této přímky v rovině.
Úkol. A B C D M O ABCD je kosočtverec, O je průsečík jeho úhlopříček, M je bod v prostoru, který neleží v rovině kosočtverce. Body A, D, O leží v rovině α. Určete a zdůvodněte: Leží body B a C v rovině α? Leží bod D v rovině MOB? Pojmenujte průsečík rovin MOV a ADO. Vypočítejte plochu kosočtverce, je-li jeho strana 4 cm a úhel 60º. Navrhněte různé způsoby, jak vypočítat plochu kosočtverce.
Ústní práce. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Je dáno: krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Najděte: Několik bodů, které leží v rovině α; Několik bodů, které neleží v rovině α; Několik přímek, které leží v rovině α; Několik přímek, které neleží v rovině α; Několik přímek, které protínají přímku BC; Několik čar, které neprotínají přímku BC. Úkol 1.
Ústní práce. Úkol 2. α A M B a b c Doplňte prázdná místa, abyste uvedli správné tvrzení:
Ústní práce. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Přímky AA 1, AB, AD procházejí bodem A, ale neleží ve stejné rovině Leží přímky AA 1, AB, AD ve stejné rovině?
Řešte úlohy z učebnice: strana 8 č. 7, 10, 14. Práce žáků na tabuli a v sešitech:
Úloha 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M N F K Dáno: krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 t.M leží na hraně BB 1, t. N leží na hraně CC 1 a bod K leží na hraně DD 1 a) pojmenujte roviny ve kterých bodech M leží; N. b) najděte t. F - průsečík přímek M N a BC. Jakou vlastnost má bod F? c) najděte průsečík přímky K N a roviny ABC O d) najděte průsečík rovin M N K a ABC
Úloha (ústní) A B C D M O ABCD je kosočtverec, O je průsečík jeho úhlopříček, M je bod v prostoru, který neleží v rovině kosočtverce. Body A, D, O leží v rovině α. Určete a zdůvodněte: 1. Které další body leží v rovině α? Leží body B a M v rovině α? Leží bod B v rovině MOD? Pojmenujte průsečík rovin MOS a ADO. Bod O je společným bodem rovin MOV a MOS. Je pravda, že se tyto roviny protínají podél přímky MO? Vyjmenuj tři přímky ležící ve stejné rovině; neleží ve stejné rovině.
Úloha (ústní) A B C M Strany AB a AC trojúhelníku ABC leží v rovině. Dokažte, že i medián leží v rovině.
S D E F O M Úkol (ústní) Jaká je chyba v kresbě, kde O E F . Podejte vysvětlení. Jak by měla vypadat správná kresba.
Úroveň 1 A B C S K M N 1. Pomocí tohoto obrázku pojmenujte: a) čtyři body ležící v rovině S AB; b) rovina, ve které leží přímka M N; c) přímka, podél které se protínají roviny S AC a S BC. 2. Bod C je společným bodem roviny a. Přímka c prochází bodem C. Je pravda, že se roviny a protínají podél přímky c. Vysvětli svoji odpověď. 3. Přes čáru a a bod A lze nakreslit dvě různé roviny. Jaká je vzájemná poloha přímky a a bodu A. Vysvětlete svou odpověď. Úroveň 2 S A B C D E F 1. Pomocí tohoto obrázku pojmenujte: a) dvě roviny obsahující přímku DE; b) přímka, podél které se protínají roviny AE F a S BC; c) roviny protínané přímkou S B. 2. Přímky a, b a c mají společný bod. Je pravda, že tyto přímky leží ve stejné rovině? Zdůvodněte svou odpověď. 3. Roviny a protínají se v přímce s. Přímka a leží v rovině a rovinu protíná. Jaká je vzájemná poloha přímek a a c?
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Úroveň 3 (na kartách) 1. Pomocí tohoto obrázku pojmenujte: a) dvě roviny obsahující přímku B 1 C; b) přímka, podél které se protínají roviny B 1 SD a AA 1 D 1; c) rovina, která se neprotíná s přímkou SD 1. 2. Čtyři přímky se protínají ve dvojicích. Je pravda, že pokud kterékoli tři z nich leží ve stejné rovině, pak všechny čtyři přímky leží ve stejné rovině? Vysvětli svoji odpověď. 3. Vrchol C plochého čtyřúhelníku ABCD leží v rovině, ale body A, B, D v této rovině neleží. Přímky AB a AD protínají rovinu v bodech B1 a D1. Jaká je vzájemná poloha bodů C, B 1 a D 1? Vysvětli svoji odpověď.
Domácí úkol: zopakujte si látku z planimetrie a udělejte si poznámky do sešitů k těmto otázkám: Určení rovnoběžných přímek Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Konstrukce přímky rovnoběžné s daným Axiomem rovnoběžek