DRŽAVNA PRORAČUNSKA STRUČNA OBRAZOVNA USTANOVA SAMARSKE REGIJE "SIZRAN POLYTECHNIC COLLEGE"
METODIČKA RAZRADA SATA GEOMETRIJE
RAZVIJENO:
UČITELJICA N.V. TIKHONOVA
Tema lekcije: "Aksiomi stereometrije"
Svrha lekcije: OKO ovladavanje osnovnim pojmovima stereometrije
Zadaci:
Obrazovni:
ovladavanje osnovnim pojmovima stereometrije;
upoznavanje s osnovnim pojmovima i aksiomima stereometrije;
razvijanje sposobnosti prijenosa znanja iz planimetrije u stereometriju.
Obrazovni:
razvoj kognitivnih interesa, intelektualnih i kreativnih sposobnosti u procesu izvršavanja matematičkih zadataka;
razvoj pažnje, pamćenja, govora, intelektualnog potencijala, logičkog mišljenja učenika;
razvoj sposobnosti isticanja glavne stvari, usporedbe činjenica koje se proučavaju,
logički izražavati misli i pronalaziti analogije;
širenje vidika učenika;
razvoj informacijskih kompetencija.
Obrazovni:
razvijanje sposobnosti potkrepljivanja izraženog stava;
uvažavati mišljenje protivnika, surađivati u procesu zajedničkog izvršavanja zadataka;
razvijati osjećaj kolektivizma i komunikacije tijekom sata.
Vrsta lekcije: kombinirani
Oblik organiziranja studentskih aktivnosti: grupa, pojedinac.
Materijal i didaktička oprema:
primjena:
opis problema (prilog 1);
hrana za razmišljanje (prilog 2);
zadatak za provjeru asimilacije teoretskog materijala (Prilog 3);
standardi odgovora na Prilog 3 (Prilog 4);
bodovni list (prilog 5);
odraz (prilog 6);
dizajn ploče (prilog 7).
Organizacijski trenutak: uvođenje učenika u temu, priopćavanje svrhe lekcije
(3 minute)
Učitelj, nastavnik, profesor: Pozdrav, danas počinjemo učitinova grana geometrije tzv stereometrija.
Pitanje: Što proučava znanost geometrija? (geometrijski likovi i njihova svojstva)
Pitanje: Što znači prefiks “stereo” i gdje ste ga u životu susreli? (stereo zvuk, stereo slika, itd.). Stereo znači volumen, prostor.
Shodno tome, proučavat ćemo geometrijske likove i njihova svojstva, ali u prostoru.
Da. Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure u prostoru.
Proučavat ćemo trodimenzionalni prostor u kojem živimo (trebamo poznavati svoje stanište).
Pitanje: Navedite njegove dimenzije. (dužina širina Visina)
Pitanje: Mislite li da postoje drugi prostori? Pa, na primjer, s četvrtom dimenzijom?
Zašto ne. O tome se sada puno govori i piše. Oh, nisi ga vidio. Ili su možda samo tako dizajnirane nečije oči! Uzmimo oko muhe. Osmišljen je tako da na TV ekranu vidi svaki okvir zasebno; za nju još uvijek postoje slike, tako da ne leti s ekrana, bez obzira na to kakve se bitke tamo prikazuju. Ali, čim dignete ruku da ga tresnete, odmah odleti, toliko mu je osjetljivo oko.
Učitelj, nastavnik, profesor: Sada smo iz aviona otišli u svemir, što znači da ima više osnovnih pojmova (figura). Naš zadatak je otkriti koju figuru treba dodati glavnim figurama u prostoru, te također naznačiti njezina svojstva (odnosno formulirati aksiome), budući da ne možemo dati definiciju glavne figure. Proučavat ćemo stereometriju u usporedbi s planimetrijom i sve što znamo ponijeti u avion sa sobom u svemir.
2. Sučeljavanje, motivacija učenika
(2 minute)
Učitelj, nastavnik, profesor: Geometrijska znanost konstruirana je logično.
Navedeni su osnovni geometrijski pojmovi (likovi) koji se uvode bez definicija.
Kao što je, primjerice, njemački renesansni umjetnik Albrecht Durer definirao u svojim djelima iz matematike: “Točka koja nema ni veličinu, ni duljinu, ni širinu, ni debljinu. Ona je početak svih tjelesnih stvari koje bismo htjeli sagraditi ili zamisliti u svojoj mašti. Prikazan je kao točkasti znak s dodirom olovke.”
Formulirani su aksiomi koji ne zahtijevaju dokaz, ali koji odražavaju svojstva glavnih figura.
Teoreme su dokazane.
Na temelju gore navedenog, moramo odlučiti- koju još figuru treba dodati osnovnim u planimetriji da bi se dobili osnovni pojmovi stereometrije i formulirali aksiomi koji bi je objasnili(metaplan, prilog 1).
Informacija(6 minuta)
Učitelj, nastavnik, profesor: Da biste riješili ovaj problem, potrebno je obnoviti svoje znanje o planimetriji i pronaći odgovore na postavljena pitanja.
Sve što dodiruje ravninu bit će prikazano na smeđim paralelogramima - dio ravnine (model - ploča stola, površina bilježnice itd.); Sve što će biti u svemiru prikazat ćemo na oblaku (kao da je nešto u volumenu).
Pitanje: Sada se prisjetite od čega su napravljeni svi geometrijski oblici. (S više točaka).
To znači da je ravnina skup točaka, a prostor skup točaka.
Rješenje problema može biti različito, ali morate odabrati ono koje je, po vašem mišljenju, najispravnije. Za rješavanje ovog problema ponuđeni su vam podaci na ploči i u informativnom listu (Prilog 2).
(Informacije na ploči, vidi Dodatak 7).
Studija (3 minute)
Učitelj, nastavnik, profesor: Nakon proučavanja informacija, raspravite ih s prijateljem u vašoj mikrogrupi. Odlučite što trebate uzeti u obzir da biste predstavili svoj odgovor.
Odlučivanje (5 minuta)
Učitelj, nastavnik, profesor: Donesite odluku koja je po vašem mišljenju najispravnija i formalizirajte je u metaplanu.
Prezentacija ili rasprava (9 minuta)
Učitelj, nastavnik, profesor: Svaka mikroskupina naizmjenično ispisuje svoj izbor na magnetskoj ploči, navodeći razloge za svoj izbor.
7. Usklađivanje s izvornim rješenjem (7 minuta)
Učitelj, nastavnik, profesor: s obzirom na to da je prostoru dodan novi koncept avion, koji nema definiciju, onda postoji potreba da se naznače njegova svojstva (aksiomi) kako bi se ta figura ispravno razumjela.
Postavljaju se pitanja:
Što je ravna linija?
Ovo je skup točaka, beskonačan s obje strane, koje leže u nekoj ravnini. Ali ravnina je također skup točaka. Otuda aksiom A1, pogledajte ploču i Dodatak 2.
Što je prostor?
Ovo je također skup točaka, i to beskonačan. I među njima postoje točke koje su u određenoj ravnini. Stoga
Aksiom C 1: Koja god ravnina bila, postoje točke koje pripadaju ravnini i točke koje joj ne pripadaju. (vidi metaplan na ploči)
Učitelj, nastavnik, profesor: Ako je mikroskupina točno odgovorila, tada u svoj evaluacijski listić stavlja znak “+” (Prilog 5), ako nije točno ili netočno, onda ne stavlja ništa.
Možemo predložiti sljedeći model ovog aksioma: u svemirskom brodu, gdje je bestežinsko stanje razbacalo kantu bobičastog voća (točkice). Neke su bobice na površini stola (u ravnini), neke su iznad ili ispod njegove površine.
Tko može donijeti svoj model. Za dodavanja, mikroskupina dobiva dodatne prednosti u zapisniku.
Znate kada se sijeku dvije ravnine iz aksioma A 2. Kako odrediti presjek dviju ravnina?
Aksiom C 2: Ako dvije različite ravnine imaju točku, onda se one sijeku duž pravca koji prolazi kroz tu točku. (vidi metaplan na ploči)
Ne zaboravite prikazati svoje rezultate na listi za bodovanje.
Možemo predložiti sljedeći model ovog aksioma: poluotvorena knjiga.
Navedite primjere modela, mogu se naći u svakoj prostoriji (raskrižje dvaju zidova).
Za definiranje jedne ravne linije potrebne su samo dvije točke. Što je potrebno za definiranje jedne ravnine?
Aksiom C 3: Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku, tada se kroz njih može povući ravnina, i to samo jedna.
Koliko točaka daju dvije crte koje se sijeku? (3 boda)
Model: vrata (ravnina) u uredu pričvršćena su na dvije šarke (točke).
Ovdje je zauzela jednu poziciju, ovdje je zauzela drugu itd. To jest, kroz dvije točke možete nacrtati mnogo ravnina. A sada ću dvjema točkama (šarkama) dodati još jednu na istoj liniji (još jednu šarku). Što se promijenilo? Ništa. To znači da trebamo uzeti treću točku koja ne leži na istoj liniji kao prve dvije. Zatvaram vrata bravom ili zasunom (točka). Svi! Ravnina (vrata) se ne može pomaknuti. Postoji samo jedna pozicija, a samim tim postoji i samo jedna ravnina!
Za ovaj aksiom, ako je ispravno formuliran, stavite dva plusa na evaluacijski list.
Što je s vašim modelima? (Tijekom ove faze učitelj crta svoju opciju na magnetskoj ploči bez uklanjanja opcija učenika).
Kontrola primjene stečenog znanja (6 minuta)
Učitelj, nastavnik, profesor: Za zagrijavanje svima nudim klasičan problem: Tri su muhe uletjele u ured. Kada će biti u avionu? (To pitanje nastavnici TSU vole postavljati kandidatima tijekom prijemnih ispita).
A sada svatko ima svoj zadatak provjeriti asimilaciju teorijskog materijala (Dodatak 3).
Zatim sami sebi dajemo ocjene koristeći bodovne listiće.
Sažetak, razmišljanje. (4 minute)
Učitelj, nastavnik, profesor: Sada provjerimo kako ste svladali teorijsko gradivo. Da biste to učinili, predajte mi informativne listove, zauzvrat ćete dobiti kontrolne listove (Dodatak 4). Svatko od vas je samostalno radio. Provjerite točnost svojih odgovora i odrazite ih na listiće za ocjenjivanje.
Učitelj, nastavnik, profesor: Vaš rad je ostavio ugodan dojam. Kakvo je vaše mišljenje o lekciji? Na stolovima imate karte – simbole. Sunce - simbol lijepog vremena, a time i dobrog raspoloženja. Ako vam se lekcija svidjela, bila je zanimljiva, korisna, podignite ovu karticu prilikom glasanja.
Ako nije sve u lekciji bilo zanimljivo, onda povisite Oblak - simbol promjenjivog vremena.
Ako vam se lekcija uopće nije svidjela i vrijeme se beskrajno vuklo, povisite Mjesec - simbol činjenice da sam tijekom ove lekcije samo želio spavati.
I na kraju lekcije želim reći da je znanost o geometriji nastala iz praktičnih aktivnosti čovjeka. Ova složenica sastoji se od dva dijela: geo (od grč ge -Zemlja), ...metrija (od grč metreo -mjerenje). Stoga se nadam da ste se danas još jednom uvjerili u potrebu proučavanja ove znanosti.
10. Zadaci za dom: točke 1. i 2. ponoviti kosinusni teorem, planimetrijski zadaci.
Hvala svima na lekciji.
Učenje matematike je važno na dva načina:
prvo, zbog jakog utjecaja
ovu strogu znanost o razvoju mentalnih sposobnosti,
drugo, širinom svoje primjene.
M. Ostrogradski
Lekcija geometrije
Plan učenja
Provjera domaće zadaće
Učenje nove teme
Domaća zadaća
Znanje je najizvrsniji imetak.
Svi tome teže, ali to ne dolazi samo od sebe.
Al - Biruni
Učenje nove teme
- Povijest geometrije
- Osnovni pojmovi geometrije
- Aksiomi stereometrije
- Korolari iz aksioma
Ciljevi i ciljevi
- Operirati pojmovima točke, pravca, ravnine, prostora.
- Upoznati aksiome stereometrije i njihove posljedice.
- Primjena aksioma pri rješavanju problema.
Povijest geometrije
1 Podrijetlo i definicija geometrije
2 Glavne faze u razvoju geometrije
Osnovni pojmovi u geometriji
Geometrija― dio matematike, predstavlja znanost o prostornim odnosima i oblicima tijela; znanost o figurama i preobrazbi figura.
Teorem - izjava utvrđena dokazima.
Aksiom- stav prihvaćen bez logičnog dokaza zbog neposredne uvjerljivosti.
Osnovni pojmovi geometrije
Geometrija
Planimetrija
Stereometrija
grana geometrije koja proučava likove smještene u prostoru i svojstva tih likova.
grana geometrije koja proučava svojstva geometrijskih likova na ravnini.
Osnovni pojmovi geometrije
Planimetrija
Avion
Točka
Ravno
Prostor
Stereometrija
Osnovni pojmovi geometrije
Avion― ovo je model savršeno ravne i glatke površine, beskrajno rastegnute u svim smjerovima.
Osnovni pojmovi geometrije
Klasični model prostora je trodimenzionalni euklidski prostor.
Prostor je skup čiji su elementi točke i u kojem je zadovoljen sustav aksioma stereometrije koji opisuje svojstva točaka, pravaca i ravnina.
Osnovni pojmovi geometrije
Teoremi stereometrije
Aksiomi stereometrije
Aksiom 1 (aksiom o pripadnosti pravoj)
Ako dvije točke pravca pripadaju ravnini, tada cijeli pravac leži u toj ravnini.
Aksiomi stereometrije
Aksiom 2 (aksiom o presjeku ravnina)
Ako dvije ravnine imaju barem jednu zajedničku točku, onda se one sijeku duž pravca koji prolazi kroz tu točku.
Aksiomi stereometrije
Aksiom tri točke
Kroz bilo koje tri točke koje ne leže na istoj liniji možete povući ravninu, i to samo jednu.
Aksiomi stereometrije
Aksiom kontinuiteta
U svemiru postoje avioni. U svakoj ravnini zadovoljeni su svi aksiomi, a time i svi teoremi planimetrije.
Korolari iz aksioma
Teorem 1
Kroz dvije crte koje se sijeku možete nacrtati ravninu, i to samo jednu.
Korolari iz aksioma
Teorem 2
Kroz dvije paralelne crte možete nacrtati ravninu, i to samo jednu.
Korolari iz aksioma
Teorem 3
Kroz bilo koju ravnu liniju i točku koja joj ne pripada može se povući ravnina, i to samo jedna.
Korolari iz aksioma
Komentar
Kroz bilo koju ravnu liniju u prostoru može se povući beskonačno mnogo ravnina.
Um koji je previše raštrkan nije sposoban shvatiti stvari.
D. Cardano
Aksiom 1
Aksiom 2
Aksiom 3
Aksiom 4
Aksiomi stereometrije
U svemiru postoje avioni.
U svakoj ravnini zadovoljeni su svi aksiomi, a time i svi teoremi planimetrije .
Kroz bilo koje tri točke koje ne leže na istoj liniji možete povući ravninu, i to samo jednu.
Ako dvije točke pravca pripadaju ravnini, tada cijeli pravac leži u toj ravnini.
Ako dvije ravnine imaju barem jednu zajedničku točku, onda se one sijeku duž pravca koji prolazi kroz tu točku.
Aksiomi stereometrije opisuju:
Metoda definiranja ravnine
Korolari iz aksioma
Kroz bilo koju ravnu liniju i točku koja joj ne pripada može se povući ravnina, i to samo jedna
Kroz dvije linije koje se sijeku možete nacrtati ravninu i, štoviše, samo jednu
Kroz dvije paralelne linije možete nacrtati ravninu i, štoviše, samo jednu
Metode definiranja ravnine
Kroz tri točke može se povući ravnina
Možete crtati kroz ravnu liniju i točku koja ne leži na njoj
Može se nacrtati kroz dvije crte koje se sijeku
Teorem 1
Teorem 3
Aksiom 3
Je li točno da bilo koje četiri točke ne leže u istoj ravnini?
Je li istina da ravnina prolazi kroz bilo koje tri točke, i to samo kroz jednu?
Točke A, B, C, D ne leže u istoj ravnini, mogu li bilo koje tri ležati na istoj ravni?
Mogu li dvije ravnine imati samo jednu zajedničku točku?
Mogu li dvije ravnine imati samo dvije zajedničke točke?
Točke A, B, C, D ne leže u istoj ravnini, mogu li se prave AB i CD sijeći?
Mogu li dvije ravnine imati samo jednu zajedničku liniju?
Je li točno da ako dvije točke kružnice leže u ravnini, onda cijela kružnica leži u toj ravnini?
Je li točno da ako tri točke kružnice leže u ravnini, onda cijela kružnica leži u toj ravnini?
1) četiri točke koje leže u ravnini SAB, u ravnini ABC;
2) ravnina u kojoj leži pravac MN, pravac KM;
3) pravac po kojem se sijeku ravnine ASC i SBC, ravnine SAC i CAB.
Koristeći ovu sliku, nazovite:
1) ravnine koje sadrže pravac DE, pravac EF;
2) dvije ravnine koje siječe pravac SB; izravni AC .
B 1
C 1
A 1
D 1
Koristeći ovu sliku, nazovite:
1) pravac po kojem se sijeku ravnine BCD i AA 1 D 1; ravnine ADC i A 1 B 1 B;
2) ravnina koja se ne siječe s pravcem CD 1; s ravnom crtom BC 1
Sve umjetnosti gravitiraju glazbi; sve su znanosti povezane s matematikom.
J. Santayana
Naše znanje nikada ne može imati kraj upravo zato što je subjekt znanja beskonačan.
B. Pascal
- Što je stereometrija?
- Nastanak i razvoj stereometrije
- Osnovne figure u prostoru
- Označavanje točaka i primjeri njihovih modela
- Označavanje ravnih linija
- Primjeri ravnih linija
- Označavanje ravnina i primjeri njihovih modela
- Što još proučava stereometrija?
- Predmeti i geometrijska tijela oko nas
- Slika geometrijskih tijela na crtežima
- Praktično (primijenjeno) značenje stereometrije
- Aksiomi stereometrije
- Korolari iz aksioma stereometrije
- Konsolidacija
- Rabljene knjige
Što je stereometrija?
Stereometrija je grana geometrije u kojoj se proučavaju svojstva likova u prostoru.
Nastanak i razvoj stereometrije.
- Razvoj stereometrije počeo je mnogo kasnije od planimetrije.
- Stereometrija se razvila iz opažanja i rješenja pitanja koja su nastala u procesu praktične ljudske djelatnosti.
- Već primitivni čovjek, nakon što se počeo baviti zemljoradnjom, pokušavao je barem u grubim crtama procijeniti veličinu žetve koju je sakupio po masama žita naslaganih u hrpe, hrpe ili hrpe.
- Graditelj i najstarijih primitivnih građevina morao je nekako voditi računa o materijalu s kojim je raspolagao i znati izračunati koliko će materijala biti potrebno za izgradnju pojedine građevine.
- Klesarstvo kod starih Egipćana i Kaldejaca zahtijevalo je poznavanje metričkih svojstava barem najjednostavnijih geometrijskih tijela.
- Potreba za poljoprivredom, navigacijom i vremenskom orijentacijom gurnula je ljude na astronomska promatranja, a potonja na proučavanje svojstava sfere i njezinih dijelova, a posljedično i zakona relativnog položaja ravnina i linija u prostoru.
Osnovne figure u prostoru.
Ravnina je geometrijski lik koji se neograničeno proteže u svim smjerovima.
Označavanje točaka i primjeri njihovih modela.
Bodovi su označeni velikim latiničnim slovima A, B, C, ...
Primjeri točkastih modela su:
atomi i molekule
planeta na razini svemira
Označavanje ravnih linija.
- Izravne linije su označene:
- mala latinična slova a, b, c, d, e, k, …
- dva velika latinična slova AB, CD...
Primjeri modela ravnih linija.
Primjeri modela ravnih linija uključuju:
tragovi aviona
Označavanje ravnina i primjeri njihovih modela.
Ravnine se označavaju grčkim slovima α, β, γ,…
Primjeri modela ravnina uključuju:
vodena površina
površina stola
Što još proučava stereometrija?
Uz točku, pravac i ravninu, stereometrija proučava geometrijska tijela i njihove površine.
Predmeti i geometrijska tijela oko nas.
Predmeti oko nas daju ideje o geometrijskim tijelima.
A proučavajući svojstva geometrijskih likova – imaginarnih objekata, dobivamo informacije o geometrijskim svojstvima stvarnih objekata i ta svojstva možemo koristiti u praktičnim aktivnostima.
poliedarski kristali
limenka – cilindar
pakiranje bombona - kornet
Slike geometrijskih tijela na crtežima.
- Slika prostorne figure je njezina projekcija na određenu ravninu.
- Nevidljivi dijelovi figure prikazani su isprekidanim linijama.
Praktično (primijenjeno) značenje stereometrije.
- Geometrijska tijela su izmišljeni objekti
- Proučavanjem svojstava geometrijskih likova stječemo predodžbe o geometrijskim svojstvima stvarnih objekata (njihov oblik, međusobni položaj itd.)
- Stereometrija se široko koristi u građevinarstvu, arhitekturi, strojarstvu i drugim područjima znanosti i tehnologije.
Aksiomi stereometrije.
- Aksiom- ova tvrdnja o svojstvima geometrijskih likova prihvaća se kao polazište, na temelju kojega se dokazuju daljnji teoremi i općenito se gradi sva geometrija.
Aksiomi stereometrije.
A1 . Kroz bilo koje tri točke koje ne leže na istom pravcu prolazi ravnina i to samo jedna.
Aksiomi stereometrije.
A2 . Ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke tog pravca leže u toj ravnini.
U tom slučaju kažu da pravac leži u ravnini ili da ravnina prolazi kroz pravac.
Aksiomi stereometrije.
A3. Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajedničku ravnicu na kojoj leže sve zajedničke točke tih ravnina.
Kažu da se ravnine sijeku pravocrtno
Korolari iz aksioma.
Teorem 1: Ravnina, i to samo jedna, prolazi kroz pravac i točku koja ne leži na njemu.
Teorem 2: Ravnina prolazi kroz dva pravca koji se sijeku, i to samo kroz jedan.
Konsolidacija.
1.Imenuj ravnine u kojima leže pravci:
Konsolidacija.
2. Imenujte točku presjeka pravca CE s ravninom ADB.
3. Imenuj pravce po kojima se ravnine sijeku:
Rabljene knjige
- Geometrija. 10-11 razred: udžbenik. Za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine/P.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i dr. – 21. izd. – M.: Obrazovanje, 2012.- 255 str.: ilustr.
- Geometrija: metodički priručnik za visokoškolske ustanove i nastavnike srednjih škola: 2. dio Stereometrija / ur. prof. I.K. Andronova.
Niz lekcija na temu: "Aksiomi stereometrije" sastoji se od sljedećih lekcija:
1. Predmet stereometrije. Aksiomi stereometrije"
2. Neke posljedice iz aksioma.
3;4. Rješavanje zadataka o primjeni aksioma i njihovih posljedica.
5. Rješavanje zadataka o primjeni aksioma stereometrije i njihovih posljedica. Samostalni rad.
Za svaku lekciju pripremljena je prezentacija.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Niz lekcija na temu: “Aksiomi stereometrije i njihove posljedice.”
Lekcija 1. Predmet stereometrije. Aksiomi stereometrije.
Ciljevi lekcije:
- upoznati studente sa sadržajem kolegija stereometrije;
- proučavati aksiome o međusobnom položaju točaka, pravaca i ravnina u prostoru;
- naučiti primjenjivati aksiome stereometrije pri rješavanju zadataka.
Tijekom nastave:
Slajd 1.
1. Organizacijski trenutak.
2. Učenje novog gradiva.
Učitelj: Već tri godine, počevši od 7. razreda, proučavamo školski tečaj geometrije.
Slajd 2. Pitanja za studente:
Što je geometrija? (Geometrija je znanost o svojstvima geometrijskih oblika)
Što je planimetrija? (Planimetrija je dio geometrije u kojem se proučavaju svojstva likova u ravnini)
Koje osnovne pojmove planimetrije poznajete? (točka, ravna linija)
Učitelj: Danas počinjemo proučavati novi dio geometrije - stereometriju.
Slajd 3. Stereometrija je grana geometrije koja proučava svojstva figura u prostoru. (Učenici zapisuju u svoje bilježnice)
Slajd 4. Osnovni pojmovi o prostoru: točka, pravac, ravnina.
Ideja ravnine daje se glatkom površinom stola, zida, poda, stropa itd. Ravnina, kao geometrijska figura, mora se zamisliti kao beskonačna, koja se proteže u svim smjerovima. Ravnine su označene grčkim slovima α, β, γ itd.
1. Imenujte točke koje leže u ravnini β; ne leži u β ravnini.
2. Imenuj prave: one koje leže u ravnini β; ne leži u β ravnini.
Slajd 5. Imamo jasnu predodžbu o osnovnim pojmovima (točka, linija, ravnina) i definicije im nisu date. Njihova su svojstva izražena aksiomima.
Uz točku, pravac, ravninu, u stereometriji se razmatraju geometrijska tijela (kocka, paralelopiped, valjak, tetraedar, stožac itd.), proučavaju se njihova svojstva, izračunavaju njihove površine i obujmi. Predmeti oko nas daju nam ideju o geometrijskim tijelima.
Slajd 6. Pitanja za studente:
Na koja vas geometrijska tijela podsjećaju predmeti prikazani na ovim slikama?
Imenuj predmete iz svoje okoline (naše učionice) koji te podsjećaju na geometrijska tijela.
Slajd 7. Praktičan rad (u bilježnicama)
1. Nacrtaj kocku u bilježnicu (vidljive linije su puna crta, nevidljive crte su točkasta linija).
2. Označi vrhove kocke velikim slovima ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
3. Istaknite olovkom u boji:
- vrhovi A, C, B 1, D 1 ; segmenti AB, CD, B 1 S, D 1 S; dijagonale kvadrata AA 1 V 1 V.
Skrenuti pažnju učenicima na vidljive i nevidljive linije na crtežu; slika kvadrata AA 1 u 1 U svemiru.
Slajd 8. Pitanja za studente:
Što je aksiom? Koje aksiome planimetrije poznajete?
U prostoru, osnovna svojstva točaka, pravaca i ravnina s obzirom na njihov međusobni položaj izražena su aksiomima.
Slajd 9. Učenici bilježe i crtaju u svoje bilježnice.
Aksiom 1. (A1) Kroz bilo koje 3 točke koje ne leže na istom pravcu vodi ravnina i to samo jedna.
Slajd 10. Imajte na umu da ako uzmete ne 3, već 4 proizvoljne točke, tada niti jedna ravnina ne smije prolaziti kroz njih, odnosno 4 točke ne smiju ležati u istoj ravnini.
Slajd 11. Aksiom 2. (A2) Ako 2 točke pravca leže u ravnini, tada sve točke pravca leže u toj ravnini. U tom slučaju kažu da pravac leži u ravnini ili da ravnina prolazi kroz pravac.
Slajd 12. Pitanje za studente:
Koliko zajedničkih točaka imaju pravac i ravnina? (Slika 1 - beskonačno mnogo; Slika 2 - jedan)
Slajd 13. Aksiom 3. (A3) Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajedničku liniju na kojoj leže sve zajedničke točke tih ravnina.
U tom slučaju se kaže da se ravnine sijeku pravocrtno.
3. Konsolidacija proučenog materijala.
Slajd 14. Rješavanje zadataka iz udžbenika br. 1(a,b), 2(a).
Učenici čitaju uvjete zadataka i na temelju slike na slajdu daju odgovor uz obrazloženje.
Zadatak 1.
a) P, E (ADV) RE (ADV) prema A 2
Slično MK (VDS)
V,D (ADV) i (VDS) VD (ADV) i (ICE)
Slično AB (ADV) i (ABC)
C, E (ABC) i (DES) CE (ABC) i (DES)
b) C (DK) i (ABC) DK ∩ (ABC) = S. Jer nema više od jedne sjecišne točke pravca i ravnine (pravac ne leži u ravnini), onda je to jedina točka.
Slično, CE ∩ (ADV) = E.
Problem 2(a)
U ravnini DSS 1: D, S, S 1, D 1 , K, M, R. U BQC ravnini: B 1, B, P, Q, C 1, M, S.
Slajd 15. 4. Sažimanje lekcije.Pitanja za studente:
- Kako se zove dio geometrije koji ćemo učiti u 10-11 razredu?
- Što je stereometrija?
- Pomoću crteža formulirajte aksiome stereometrije koje ste danas naučili u razredu.
Slajd 16. 5. Domaća zadaća.
Lekcija 2. Neke posljedice iz aksioma.
Ciljevi lekcije:
Pregledati aksiome stereometrije i njihovu primjenu u rješavanju domaćih zadaća;
Upoznati učenike s posljedicama aksioma;
Naučiti kako primijeniti korolare iz aksioma pri rješavanju problema, kao i učvrstiti sposobnost korištenja aksioma stereometrije pri rješavanju problema;
Ponovite formule za izračunavanje površine romba.
Tijekom nastave.
Slajd 1. 1. Organizacijski trenutak.Priopćiti temu i ciljeve lekcije.
Slajd 2.
1) Formulirajte aksiome stereometrije i nacrtajte crteže na ploči.
2) br. 1 (c, d); 2(b,d).
Učenici usmeno odgovaraju na pitanja iz domaće zadaće prema slici na slajdu.
Slajd 3. 3. Učenje novog gradiva.Razmotrimo i dokažimo posljedice aksioma.
Teorem 1. Ravnica prolazi ravninom i točkom koja ne leži na njoj, i to samo jednom ravninom.
Učenici zapisuju tekst u bilježnicu i, odgovarajući na pitanja nastavnika, prave odgovarajuće bilješke i crteže u bilježnicu.
Što je dano u teoremu? (pravac i točka koja ne leži na njemu)
Što treba dokazati? (prolazi avion; jedan)
Što se može koristiti kao dokaz? (aksiomi stereometrije)
Koji nam aksiom omogućuje konstruiranje ravnine? (A1, ravnina prolazi kroz tri točke, a samo kroz jednu)
Što je u ovom teoremu i što nedostaje za korištenje A1 (imamo točku; potrebne su još dvije točke)
Gdje da izgradimo još dva boda? (na ovoj liniji)
Kakav zaključak možemo izvući? (gradimo ravninu kroz tri točke)
Pripada li pravac ovoj ravnini? (Da)
Na temelju čega se može izvesti ovakav zaključak? (na temelju A2: ako dvije točke pravca pripadaju ravnini, tada cijeli pravac pripada ravnini)
Koliko se ravnina može povući kroz zadani pravac i zadanu točku? (jedan)
Zašto? (kako ravnina koja prolazi pravcem i ravnina prolazi kroz zadanu točku i dvije točke na pravcu, onda je prema A1 ova ravnina jedina)
Slajd 4. Teorem 2. Ravnina prolazi kroz dva pravca koji se sijeku i to samo kroz jedan.
Učenici samostalno dokazuju teorem, zatim slušaju nekoliko dokaza i dodaju i pojašnjavaju (ako je potrebno)
Obratite pozornost na činjenicu da se dokaz ne temelji na aksiomima, već na Korolaru 1.
Slajd 5. 4. Konsolidacija proučenog materijala.
Problem 6 (iz tutorijala)
Učenici rade u svojim bilježnicama, predlažu svoja rješenja, zatim svoje rješenje uspoređuju s rješenjem na ekranu. Analiziraju se dva slučaja: 1) točke ne leže na istom pravcu; 2) točke leže na istoj ravnici.
Slajd 6.7. Problem na slajdu. Učenici čitaju uvjete, crtaju i prave potrebne bilješke u svoje bilježnice. Učitelj provodi frontalni rad s razredom na pitanjima zadatka. Prilikom rješavanja zadatka ponavljamo formule za izračunavanje površine romba.
Dato je: ABCD – romb, AC∩VD=O, M, (A,D,O); AB = 4 cm, A = 60º.
Pronađite: (B,C) ; D (MOU); (MOV)∩(ADO); S ABCD.
Riješenje:
Obratite pozornost na činjenicu da ako dvije ravnine imaju zajedničke točke, onda se one sijeku po ravnoj liniji koja prolazi kroz te točke.
5. Ukratko:
Formulirajte aksiome stereometrije.
Formulirajte korolare iz aksioma.
Cilj sata je postignut. Ponavljani su aksiomi stereometrije, učile su se posljedice aksioma i primjenjivale su se na rješavanje zadataka.
Označavanje (s komentarima)
Slajd 8. 6. Postavljanje domaće zadaće:
Lekcija 3. Rješavanje problema korištenjem aksioma stereometrije i njihovih posljedica.
Ciljevi lekcije:
Ponoviti aksiome stereometrije i njihove posljedice;
Razviti vještinu korištenja aksioma stereometrije i njihovih posljedica pri rješavanju zadataka;
Učenici poznaju aksiome stereometrije i njihove posljedice te ih mogu primijeniti u rješavanju problema.
Tijekom nastave.
Slajd 1. 1. Organizacijski trenutak.Priopćiti temu i ciljeve lekcije.
2. Obnavljanje znanja učenika.
1) Provjera domaće zadaće na temelju pitanja učenika.
Prije nastave uzmite bilježnice za zadaće od nekoliko učenika na provjeru.
2) Dva učenika na ploči pripremaju dokaz korolara iz aksioma.
3) Dva učenika (razina 1) i dva učenika (razina 2) rade koristeći pojedinačne anketne kartice. slajd.
4) Frontalni rad s učenicima.
Slajd 2. Zadano je: kocka ABCDA1B1S1D1
Pronaći:
- Nekoliko točaka koje leže u α ravnini; (A, B, C, D)
- Nekoliko točaka koje ne leže u α ravnini; (A 1, B 1, C 1, D 1)
- Nekoliko ravnih linija koje leže u α ravnini; (AB, BC, SD, AD, AS, VD)
- Nekoliko pravaca koji ne leže u α ravnini; (A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, A 1 C 1, B 1 D 1, AA 1, BB 1, SS 1, DD 1)
- Nekoliko ravnih linija koje sijeku ravnu liniju BC; (BB 1, SS 1)
- Nekoliko pravaca koji ne sijeku pravac BC. (AD, AA 1 …)
Slajd 3. Ispunite prazna polja kako biste dobili točnu tvrdnju:
Slajd 4. Jesu li ravne linije AA? 1 , AB, AD u istoj ravnini? (Izravno AA 1 , AB, AD prolaze točkom A, ali ne leže u istoj ravnini)
3. Rješavanje problema.
Slajd 5. Učenici rješavaju zadatke broj 7, 10, 14 iz udžbenika, praveći odgovarajuće crteže i bilješke na ploči iu bilježnicama.
Zadatak br. 7.
2) Leže li sve prave koje prolaze točkom M u istoj ravnini?
Rješenje: Iz posljedice 2:
2) Svi pravci koji prolaze točkom M ne moraju nužno ležati u istoj ravnini. (vidi primjer sa slajda 4)
Zadatak 10. Učenici samostalno rješavaju zadatak (slično zadatku br. 7). Nastavnik selektivno uzima bilježnice na provjeru i pruža individualnu pomoć u rješavanju zadatka učenicima koji nisu riješili zadatak.
Zadatak broj 14. Rješenje: Svi pravci a, b, c leže u istoj ravnini. U ovom slučaju prema korolariji 2 možemo nacrtati ravninu, a jedna ravnina prolazi kroz tri prave.
Jedan od tri pravca, na primjer c, ne leži u ravnini α određenoj pravcima a i b. U ovom slučaju kroz zadana tri pravca prolaze tri različite ravnine definirane parovima pravaca a i b, a i c, b i c.
Slajd 6. Učenici izrađuju crtež i potrebne konstrukcije i bilješke u svojim bilježnicama. Prilikom konstruiranja učenici izgovaraju aksiome, a rezultat konstrukcije zapisuju simbolima.
Zadatak. Zadano je: kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
t.M leži na rubu eksploziva 1 , t.N leži na rubu CC 1 a točka K leži na rubu DD 1
a) Navedite ravnine u kojima leže točke M; N.
b) nađite t.F-točku presjeka pravaca MN i BC. Koje svojstvo ima točka F?
c) nađite sjecište pravca KN i ravnine ABC.
d) nađite sjecište ravnina MNK i ABC.
Riješenje:
Slajd 7. Da bismo riješili sljedeći problem, ponavljamo formulu za izračunavanje površine četverokuta. Na slajdu se analizira izvođenje formule.
Učenici zapisuju formulu u svoju bilježnicu.
Slajd 8. Dokažite da svi vrhovi četverokuta ABCD leže u istoj ravnini ako mu se dijagonale AC i WD sijeku.
Izračunati površina četverokuta, ako je AC┴VD, AC = 10 cm, VD = 12 cm.
Odgovor: 60 cm 2
4. Sažimanje lekcije.
Što je uzrokovalo poteškoće? Učitelj najavljuje ocjene za sat uz komentar.
Slajd 9.
Lekcija 4. Rješavanje problema korištenjem aksioma stereometrije i njihovih posljedica.
Ciljevi lekcije:
Provesti test poznavanja aksioma stereometrije i njihovih posljedica;
Učvrstiti razvijenu vještinu korištenja aksioma stereometrije i njihovih posljedica pri rješavanju zadataka;
Pregled: Pitagorin poučak i njegove primjene; formule za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta, pravokutnika.
Tijekom nastave.
Slajd 1. 1. Organizacijski trenutak.Priopćiti temu i ciljeve lekcije.
Slajd 2. 2. Provjera domaće zadaće.
Prije nastave uzmite bilježnice za zadaće od nekoliko učenika na provjeru.
Dva učenika za pločom pripremaju rješenja zadataka iz domaće zadaće - br. 9, 15.
Ostali učenici odgovaraju na pitanja matematičkog diktata na slajdu.
Slajd 3. 3. Rješavanje problema (frontalni rad s razredom)
Zadatak br. 1.
Dan je tetraedar MABC čiji je svaki brid 6 cm.
- Imenuj pravac po kojem se sijeku ravnine: a) MAV i MFC; b) MSF i ABC.
- Odredite duljine CF i SABC
- Kako konstruirati sjecište pravca DE s ravninom ABC?
Pitanja za studente (po potrebi):
Koje točke istovremeno pripadaju objema ravninama. Na temelju kojeg se aksioma može zaključiti?
Navedite svojstvo medijane jednakokračnog trokuta.
Navedite Pitagorin poučak.
Zašto se Pitagorin teorem može primijeniti u ovom slučaju?
Kako možete izračunati površinu jednakostraničnog trokuta?
Je li uvijek moguće konstruirati sjecište pravca DE s ravninom ABC?
Slajd 4. Zadatak br. 2.
- Kako konstruirati točku presjeka ravnine ABC s pravcem D 1 R?
- Kako konstruirati presječnu liniju ravnine AD 1 R i AVV 1 ?
- Izračunaj duljinu dužina AP i AD 1 ako je AB = a
Riješenje:
Slajd 5. Zadatak br. 3.
S obzirom : Točke A, B, C ne leže na istoj pravoj liniji.
Dokazati da točka P leži u ravnini ABC.
Uz pomoć animacije na slajdu učenici izvode odgovarajuće konstrukcije i potrebne zaključke. Matematičkim znakovima bilježite u bilježnice, izgovarajući odgovarajuće aksiome i korolare iz aksioma.
Pitanja za studente (po potrebi):
Znajući da točke A, B, C ne leže na istom pravcu, koji se zaključak može izvesti?
Ako točke A i B leže u ravnini, kakav se zaključak može izvesti o pravcu AB?
Koji se zaključak može izvesti o točki M?
Ako točke A i C leže u ravnini, kakav se zaključak može izvesti o pravcu AC?
Koji se zaključak može izvesti o točki K?
Znajući da točke M i K leže u ravnini, koji se zaključak može izvesti o pravcu MK?
Koji se zaključak može izvesti o točki P?
Rješenje (drugi način dokazivanja):
AB∩AC=A. Prema drugoj posljedica, pravci AB i AC određuju ravninu α. Točka M pripada AB, pa prema tome pripada ravnini α, a točka K pripada AC, a time i ravnini α. Prema aksiomu A2: MC leži u α ravnini. Točka P pripada MC, a time i ravnini α.
Slajd 6. Zadatak br. 4.
Ravnine α i β sijeku se duž pravca c. Pravac a leži u ravnini α i siječe ravninu β. Sjeku li se pravci a i c? Zašto?
Pitanja za studente (po potrebi):
Znajući da pravac a siječe ravninu β, koji se zaključak može izvući? (Pravac i ravnina imaju zajedničku točku, npr. točku B)
Koje svojstvo ima točka B? (Točka B pripada pravoj a, ravnini α i ravnini β)
Ako točka pripada dvjema ravninama u isto vrijeme, što onda možemo reći o međusobnom položaju ravnina? (ravnine se sijeku pravocrtno, npr. c)
Kakav je međusobni položaj točke B i pravca c? (točka B pripada pravoj c)
Znajući da točka B pripada i pravcu a i pravcu c, koji se zaključak može izvući o tim pravcima? (pravci se sijeku u točki B)
Slajd 7. Zadatak br. 5.
Zadan je pravokutnik ABCD, O je sjecište njegovih dijagonala. Poznato je da točke A, B, O leže u α ravnini. Dokažite da točke C i D također leže u ravnini α. Izračunajte površinu pravokutnika ako je AC = 8 cm, AOB = 60º.
Zadatak je namijenjen samostalnom rješavanju uz razgovor o rješenju i pružanje individualne pomoći učenicima. Korisno je razgovarati o različitim načinima pronalaženja površine pravokutnika:
Pozovite učenike da riješe problem na različite načine. Odgovor: 16 cm 2.
4. Sažetak lekcije:
Koje smo aksiome i teoreme koristili u nastavi pri rješavanju zadataka? Formulirajte to.
Koji su zadaci bili najzanimljiviji, najteži?
Što je vama osobno bilo korisno tijekom lekcije?
Što je uzrokovalo poteškoće?
Ocjenjivanje lekcije (uz komentiranje svake ocjene)
Slajd 8. 5. Postavljanje domaće zadaće:
Lekcija 5. Rješavanje problema korištenjem aksioma stereometrije i njihovih posljedica. Samostalni rad (20 min.)
Ciljevi lekcije:
Konsolidirati asimilaciju teorijskih pitanja u procesu rješavanja problema;
Razinu pripremljenosti učenika provjeriti provođenjem samostalnog rada kontrolnog karaktera.
Tijekom nastave.
Slajd 1. 1. Organizacijski trenutak.
Priopćiti temu i ciljeve lekcije.
Slajd 2. 2. Provjera domaće zadaće.
Prije nastave uzmite bilježnice za zadaće od nekoliko učenika na provjeru.
Zadatak 1.
Pravci a i b sijeku se u točki O, A a, B b, P AB. Dokažite da pravci a i b i točka P leže u istoj ravnini.
Riješenje:
Slajd 3. Zadatak 2.
Na ovoj slici ravnina α sadrži točke A, B, C, D, ali ne sadrži točku M. Konstruirajte točku K - točku presjeka pravca AB i ravnine MSD. Leži li točka K u ravnini α?
Riješenje:
Slajdovi 4, 5, 6 3. Usmeno rješavanje zadataka za ponavljanje teorije (na temelju slajdova)
Slajdovi 7,8 4. Samostalan rad(više razina, kontrolirajuća priroda) Učenici biraju svoju razinu težine.
5. Sažimanje.
1) Samostalnim radom prikupiti bilježnice.
2) Objava ocjena s komentarom.
Slajd 9. 6. Domaća zadaća.
Pregled:
Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Lekcija 1 Tema: "Predmet stereometrije. Aksiomi stereometrije."
Što je geometrija? Geometrija je znanost o svojstvima geometrijskih likova “Geometrija” - (grčki) - “premjer zemljišta” - Što je planimetrija? Planimetrija je grana geometrije u kojoj se proučavaju svojstva likova u ravnini. A a Osnovni pojmovi planimetrije: ravna točka - Osnovni pojmovi planimetrije?
Stereometrija je grana geometrije koja proučava svojstva figura u prostoru
Osnovni likovi u prostoru: točka ravna ravnina α β Oznaka: A; U; S; ...; M;... a A B M N P Oznaka: a, b, c, d..., m, n,... (ili dva velika latinična slova) Oznaka: α, β, γ... Odgovorite na pitanja na temelju slika: 1. Imenujte točke, koje leže u ravnini β; ne leži u β ravnini. 2. Imenuj pravce koji leže u ravnini β; ne leži u β ravnini
Neka geometrijska tijela. A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 kocka A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 paralelopiped A B C D tetraedar cilindar stožac
Navedi na koja te geometrijska tijela podsjećaju predmeti prikazani na ovim slikama: Navedi predmete iz okoline oko sebe (naše učionice) koji te podsjećaju na geometrijska tijela.
Praktični rad. 1. Nacrtaj kocku u bilježnicu (vidljive linije su puna crta, nevidljive crte su točkasta linija). 2. Označi vrhove kocke velikim slovima ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 3. Olovkom u boji označi: vrhove A, C, B 1, D 1 odsječke AB, CD, B 1 S, D 1 S kvadratna dijagonala AA 1 B 1 B
Što je aksiom? Aksiom je tvrdnja o svojstvima geometrijskih likova; prihvaća se kao polazna točka, na temelju koje se dokazuju daljnji teoremi i općenito se gradi sva geometrija. Aksiomi planimetrije: - kroz bilo koje dvije točke možete povući ravnu liniju i, štoviše, samo jednu. Od tri točke na pravoj liniji, jedna, i samo jedna, leži između druge dvije. postoje najmanje tri točke koje ne leže na istoj liniji...
Aksiomi stereometrije. A B C A1. Kroz bilo koje tri točke koje ne leže na istom pravcu prolazi ravnina i to samo jedna. α
Ako noge stola nisu iste dužine, onda stol stoji na tri noge, tj. počiva na tri “točke”, a kraj četvrte noge (četvrta točka) ne leži u ravnini poda, već visi u zraku.
Aksiomi stereometrije. A B α A2. Ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke tog pravca leže u toj ravnini. Kažu: ravna linija leži u ravnini ili ravnina prolazi kroz ravnu liniju.
i M Pravac leži u ravnini Pravac siječe ravninu Koliko zajedničkih točaka imaju pravac i ravnina?
Aksiomi stereometrije. α β A3. Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajedničku ravnicu na kojoj leže sve zajedničke točke tih ravnina. Kažu: ravnine se sijeku pravocrtno. A a
Riješite zadatke: br. 1 (a, b); 2(a) A B C D R E K M A V C D A 1 B 1 C 1 D 1 Q P R K M Nazovi sa slike: a) ravnine u kojima leže pravci DV, AB, MK, PE, EC; b) točke presjeka pravca DK s ravninom ABC, pravca CE s ravninom ADV. a) točke koje leže u ravninama DSS 1 i B Q C br. 1 (a, b) br. 2 (a)
Rezimirajmo lekciju: 1) Kako se zove dio geometrije koji ćemo učiti u 10.-11. razredu? 2) Što je stereometrija? 3) Pomoću crteža formulirajte aksiome stereometrije koje ste danas učili u razredu. A A B B α α A α β
Teorem 1. Ravnica prolazi ravninom i točkom koja ne leži na njoj, i to samo jednom ravninom. Zadano je: a, M ¢ a Dokažite: (a, M) s α α je jedino a M α Dokaz: 1 . R, O s a; ( P, O, M ) ¢ a P O Prema aksiomu A1: točkama P, O, M prolazi ravnina. Prema aksiomu A2: jer dvije točke pravca pripadaju ravnini, onda cijeli pravac pripada toj ravnini, tj. (a, M) s α 2. Svaka ravnina koja prolazi kroz pravac a i točku M prolazi kroz točke P, O i M, što znači da je prema aksiomu A1 jedinstvena. itd. Neke posljedice iz aksioma:
Teorem 2. Ravnina prolazi kroz dva pravca koji se sijeku i to samo kroz jedan. Zadano je: a ∩ b Dokažite: 1. (a∩ b) s α 2. α je jedini a b M N α Dokaz: 1. Ravnina α prolazi kroz a i H a, H b. (M, H) α , (M, H) b , što znači da A2 sve točke b pripadaju ravnini. 2. Ravnina prolazi kroz a i b i jedinstvena je, jer svaka ravnina koja prolazi kroz pravce a i b također prolazi kroz H, što znači da je α jedinstvena.
Riješite zadatak br. 6 A B C α Tri zadane točke u paru su spojene odsječcima. Dokažite da svi segmenti leže u istoj ravnini. Dokaz: 1. (A,B,C) α, što znači da duž A1 postoji samo jedna ravnina koja prolazi kroz A,B,C. 2. Dvije točke svakog odsječka leže u ravnini, što pod A2 znači da sve točke svakog od odsječaka leže u ravnini α. 3. Zaključak: AB, BC, AC leže u α ravnini 1 slučaj. A B C α 2 slučaj. Dokaz: Kako 3 točke pripadaju jednom pravcu, onda prema A2 sve točke ovog pravca leže u ravnini.
Zadatak. A B C D M O ABCD je romb, O je sjecište njegovih dijagonala, M je točka prostora koja ne leži u ravnini romba. Točke A, D, O leže u ravnini α. Odredite i obrazložite: Leže li točke B i C u ravnini α? Leži li točka D u MOB ravnini? Imenuj sjecište ravnina MOV i ADO. Izračunajte površinu romba ako mu je stranica 4 cm, a kut 60º. Predložite različite načine za izračunavanje površine romba.
Usmeni rad. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Zadano je: kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Nađi: Nekoliko točaka koje leže u ravnini α; Nekoliko točaka koje ne leže u α ravnini; Nekoliko ravnih linija koje leže u α ravnini; Nekoliko pravaca koji ne leže u α ravnini; Nekoliko ravnih linija koje sijeku ravnu liniju BC; Nekoliko pravaca koji ne sijeku pravac BC. Zadatak 1.
Usmeni rad. Zadatak 2. α A M B a b c Ispunite prazna mjesta kako biste dobili točnu tvrdnju:
Usmeni rad. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Pravci AA 1, AB, AD prolaze točkom A, ali ne leže u istoj ravnini Leže li pravci AA 1, AB, AD u istoj ravnini?
Rješavanje zadataka iz udžbenika: strana 8 br. 7, 10, 14. Rad učenika na ploči iu bilježnicama:
Zadatak 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M N F K Zadano je: kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 t.M leži na bridu BB 1, t.N leži na bridu CC 1 i točka K leži na bridu DD 1 a) navedite ravnine u kojim točkama M leže; N. b) pronađite t. F - točku presjeka pravaca M N i BC. Koje svojstvo ima točka F? c) nađite sjecište ravnine K N i ravnine ABC O d) nađite presjecište ravnina M N K i ABC
Zadatak (usmeni) A B C D M O ABCD je romb, O je sjecište njegovih dijagonala, M je točka u prostoru koja ne leži u ravnini romba. Točke A, D, O leže u ravnini α. Odredi i obrazloži: 1. Koje još točke leže u ravnini α? Leže li točke B i M u ravnini α? Leži li točka B u MOD ravnini? Imenuj liniju presjeka MOS i ADO ravnina. Točka O je zajednička točka ravnina MOV i MOS. Je li točno da se te ravnine sijeku duž pravca MO? Imenuj tri prave koje leže u istoj ravnini; ne leže u istoj ravnini.
Zadatak (usmeni) A B C M Stranice AB i AC trokuta ABC leže u ravnini. Dokažite da središnja također leži u ravnini.
S D E F O M Zadatak (usmeni) Koja je greška na crtežu, gdje je O E F . Dajte objašnjenje. Kako bi trebao izgledati ispravan crtež.
1. razina A B C S K M N 1. Pomoću ove slike imenuj: a) četiri točke koje leže u ravnini S AB; b) ravnina u kojoj leži pravac M N; c) pravac po kojem se sijeku ravnine S AC i S BC. 2. Točka C je zajednička točka ravnine i. Pravac c prolazi točkom C. Je li točno da se ravnine i sijeku duž pravca c. Objasni svoj odgovor. 3. Kroz pravac a i točku A mogu se povući dvije različite ravnine. Koliki je međusobni položaj pravca a i točke A. Obrazložite svoj odgovor. 2. razina S A B C D E F 1. Pomoću ove slike imenuj: a) dvije ravnine u kojima je pravac DE; b) pravac po kojem se sijeku ravnine AE F i S BC; c) ravnine koje siječe pravac S B. 2. Pravci a, b i c imaju zajedničku točku. Je li točno da ti pravci leže u istoj ravnini? Obrazložite svoj odgovor. 3. Ravnine i sijeku se pravocrtno sa. Pravac a leži u ravnini i siječe ravninu. Kakav je međusobni položaj pravaca a i c?
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Razina 3 (na karticama) 1. Pomoću ove slike navedite: a) dvije ravnine koje sadrže pravac B 1 C; b) pravac po kojem se sijeku ravnine B 1 SD i AA 1 D 1; c) ravnina koja se ne siječe s pravcem SD 1. 2. Četiri linije se sijeku u parovima. Je li točno da ako bilo koje tri od njih leže u istoj ravnini, onda sve četiri prave leže u istoj ravnini? Objasni svoj odgovor. 3. Vrh C ravnog četverokuta ABCD leži u ravnini, ali točke A, B, D ne leže u toj ravnini. Pravci AB i AD sijeku ravninu u točkama B 1, odnosno D 1. Kakav je međusobni položaj točaka C, B 1 i D 1? Objasni svoj odgovor.
Domaća zadaća: ponoviti gradivo iz planimetrije i zabilježiti u svoje bilježnice sljedeće teme: Određivanje paralelnih pravaca Međusobni položaj dvaju pravaca u ravnini Konstrukcija pravca paralelnog sa zadanim Aksiomom paralelnih pravaca.