STATE BUDGETARY PROFESSIONAL EDUCATIONAL INSTITUTION OF THE SAMARA REGION "SYZRAN POLYTECHNIC COLLEGE"
METHODOLOGICAL DEVELOPMENT NG ISANG GEOMETRY LESSON
UMUNLAD:
GURO N.V. TIKHONOVA
Paksa ng aralin: "Mga Axiom ng stereometry"
Layunin ng aralin: TUNGKOL SA mastering ang mga pangunahing konsepto ng stereometry
Mga gawain:
Pang-edukasyon:
mastering ang mga pangunahing konsepto ng stereometry;
pamilyar sa mga pangunahing konsepto at axiom ng stereometry;
pagbuo ng kakayahang maglipat ng kaalaman mula sa planimetry patungo sa stereometry.
Pang-edukasyon:
pagbuo ng mga interes ng nagbibigay-malay, intelektwal at malikhaing kakayahan sa proseso ng pagsasagawa ng mga gawain sa matematika;
pag-unlad ng atensyon, memorya, pagsasalita, potensyal na intelektwal, lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral;
pagbuo ng kakayahang i-highlight ang pangunahing bagay, ihambing ang mga katotohanan na pinag-aaralan,
ipahayag ang mga saloobin nang lohikal at maghanap ng mga pagkakatulad;
pagpapalawak ng abot-tanaw ng mga mag-aaral;
pag-unlad ng mga kakayahan sa impormasyon.
Pang-edukasyon:
pagbuo ng kakayahang patunayan ang ipinahayag na posisyon;
igalang ang opinyon ng kalaban, makipagtulungan sa proseso ng magkasanib na pagsasagawa ng mga gawain;
upang bumuo ng isang pakiramdam ng kolektibismo at komunikasyon sa panahon ng aralin.
Uri ng aralin: pinagsama-sama
Form ng organisasyon ng mga aktibidad ng mag-aaral: pangkat, indibidwal.
Materyal at didactic na kagamitan:
aplikasyon:
paglalarawan ng problema (Appendix 1);
pagkain para sa pag-iisip (Appendix 2);
gawain upang suriin ang asimilasyon ng teoretikal na materyal (Appendix 3);
pamantayan ng mga sagot sa Appendix 3 (Appendix 4);
score sheet (Appendix 5);
pagmuni-muni (Appendix 6);
disenyo ng board (Appendix 7).
Sandali ng organisasyon: pagpapakilala sa mga mag-aaral sa paksa, pakikipag-usap sa layunin ng aralin
(3 minuto)
Guro: Hello, magsisimula na tayong mag-aral ngayonisang bagong sangay ng geometry na tinatawag stereometry.
Tanong: Ano ang pinag-aaralan ng agham ng geometry? (mga geometric na numero at ang kanilang mga katangian)
Tanong: Ano ang ibig sabihin ng prefix na "stereo" at saan mo ito naranasan sa iyong buhay? (stereo sound, stereo image, atbp.). Ang ibig sabihin ng stereo ay dami, espasyo.
Dahil dito, pag-aaralan natin ang mga geometric na numero at ang kanilang mga katangian, ngunit sa espasyo.
yun. Stereometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga figure sa kalawakan.
Pag-aaralan natin ang three-dimensional space kung saan tayo nakatira (kailangan nating malaman ang ating tirahan).
Tanong: Pangalanan ang mga sukat nito. (haba lapad Taas)
Tanong: Sa tingin mo ba may iba pang espasyo? Well, halimbawa, sa ikaapat na sukat?
Bakit hindi. Maraming sinasabi at isinulat tungkol dito ngayon. Oh, hindi mo siya nakita. O baka ganoon lang ang disenyo ng mga mata ng isang tao! Kunin natin ang mata ng langaw. Idinisenyo ito sa paraang nakikita niya ang bawat frame nang hiwalay sa screen ng TV; para sa kanya may mga larawan pa rin, kaya hindi siya lumipad sa screen, anuman ang mga laban na ipinapakita doon. Ngunit, sa sandaling itinaas mo ang iyong kamay upang sampalin ito, agad itong lumipad, ang kanyang mata ay napakasensitibo.
Guro: Ngayon ay iniwan na namin ang eroplano sa kalawakan, na nangangahulugang mayroong higit pang mga pangunahing konsepto (mga numero). Ang aming gawain ay upang malaman kung aling figure ang dapat idagdag sa mga pangunahing figure sa espasyo, at din upang ipahiwatig ang mga katangian nito (iyon ay, upang bumalangkas ng mga axiom), dahil hindi kami makapagbigay ng kahulugan ng pangunahing pigura. Pag-aaralan natin ang stereometry kumpara sa planimetry at dadalhin natin ang lahat ng nalalaman natin sa isang eroplano sa kalawakan.
2. Confrontation, motibasyon ng mga mag-aaral
(2 minuto)
Guro: Ang agham ng geometry ay lohikal na binuo.
Ang mga pangunahing geometric na konsepto (mga figure) ay nakalista, na ipinakilala nang walang mga kahulugan.
Gaya ng, halimbawa, tinukoy ng German Renaissance artist na si Albrecht Durer sa kanyang mga gawa sa matematika: “Isang punto na walang sukat, o haba, o lapad, o kapal. Siya ang simula ng lahat ng bagay sa katawan na gusto nating buuin o isipin sa ating imahinasyon. Ito ay inilalarawan bilang isang tuldok-tuldok na tanda sa pamamagitan ng pagpindot ng panulat.”
Ang mga Axiom ay binuo na hindi nangangailangan ng patunay, ngunit na sumasalamin sa mga katangian ng mga pangunahing figure.
Ang mga teorema ay napatunayan.
Batay sa itaas, dapat tayong magpasya- anong iba pang figure ang dapat idagdag sa mga pangunahing sa planimetry upang makuha ang mga pangunahing konsepto ng stereometry at bumuo ng mga axiom upang ipaliwanag ito(metaplan, apendiks 1).
Impormasyon(6 minuto)
Guro: Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong i-refresh ang iyong kaalaman sa planimetry at hanapin ang mga sagot sa mga tanong na ibinibigay.
Lahat ng bagay na humipo sa eroplano ay ipapakita sa brown parallelograms - bahagi ng eroplano (modelo - table top, notebook surface, atbp.); Ilalarawan namin ang lahat ng nasa kalawakan sa isang ulap (parang ito ay isang bagay sa dami).
Tanong: Ngayon tandaan kung saan ginawa ang lahat ng mga geometric na hugis. (Mula sa maraming punto).
Nangangahulugan ito na ang isang eroplano ay isang hanay ng mga puntos, at ang isang puwang ay isang hanay ng mga puntos.
Maaaring iba ang solusyon sa problema, ngunit kailangan mong piliin ang isa na, sa iyong palagay, ang pinakatama. Upang malutas ang problemang ito, inaalok ka ng impormasyon sa pisara at sa information sheet (Appendix 2).
(Impormasyon sa pisara, tingnan sa Appendix 7).
Mag-aral (3 minuto)
Guro: Pagkatapos pag-aralan ang impormasyon, talakayin ito sa isang kaibigan sa iyong microgroup. Magpasya kung ano ang kailangan mong isaalang-alang upang ipakita ang iyong sagot.
Paggawa ng desisyon (5 minuto)
Guro: Gawin ang desisyon na pinakatama sa iyong opinyon at gawing pormal ito sa isang metaplan.
Presentasyon o talakayan (9 minuto)
Guro: Ang bawat microgroup ay nagpapalit-palit sa pagguhit ng pagpili nito sa isang magnetic board, na nagbibigay ng mga dahilan para sa pagpili nito.
7. Pagkakasundo sa orihinal na solusyon (7 minuto)
Guro: dahil sa ang katunayan na ang isang bagong konsepto ay idinagdag sa espasyo eroplano, na walang kahulugan, pagkatapos ay mayroong pangangailangan na ipahiwatig ang mga katangian nito (axioms) upang maunawaan nang tama ang figure na ito.
Ang mga tanong ay lumitaw:
Ano ang isang tuwid na linya?
Ito ay isang hanay ng mga punto, walang katapusan sa magkabilang panig, na nakahiga sa ilang eroplano. Ngunit ang isang eroplano ay isang hanay din ng mga puntos. Kaya axiom A1, tingnan ang board at Appendix 2.
Ano ang espasyo?
Ito rin ay isang set ng mga puntos, at isang walang katapusan. At kasama ng mga ito ay may mga punto na nasa isang tiyak na eroplano. Kaya naman
Axiom C 1: Anuman ang eroplano, may mga punto na kabilang sa eroplano at mga punto na hindi kabilang dito. (tingnan ang metaplan sa pisara)
Guro: Kung ang microgroup ay sumagot ng tama, pagkatapos ay maglalagay ito ng "+" sa kanyang evaluation sheet (Appendix 5), kung ito ay hindi tama o hindi tumpak, pagkatapos ay hindi ito maglalagay ng anuman.
Maaari naming ipanukala ang sumusunod na modelo ng axiom na ito: sa isang sasakyang pangalangaang, kung saan ang kawalang timbang ay nakakalat ng isang balde ng mga berry (mga tuldok). Ang ilang mga berry ay nasa ibabaw ng mesa (sa isang eroplano), ang ilan ay nasa itaas o ibaba ng ibabaw nito.
Sino ang maaaring magdala ng kanilang modelo. Para sa mga karagdagan, ang microgroup ay tumatanggap ng karagdagang mga pakinabang sa score sheet.
Alam mo kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong mula sa Axiom A 2. Paano matukoy ang intersection ng dalawang eroplano?
Axiom C 2: Kung ang dalawang magkaibang eroplano ay may isang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito. (tingnan ang metaplan sa pisara)
Huwag kalimutang ipakita ang iyong mga resulta sa score sheet.
Maaari naming imungkahi ang sumusunod na modelo ng axiom na ito: isang kalahating bukas na libro.
Magbigay ng mga halimbawa ng mga modelo, maaari silang matagpuan sa anumang silid (ang intersection ng dalawang pader).
Upang tukuyin ang isang solong tuwid na linya, dalawang puntos lamang ang kailangan. Ano ang kailangan upang tukuyin ang isang solong eroplano?
Axiom C 3: Kung ang dalawang magkaibang linya ay may isang karaniwang punto, kung gayon ang isang eroplano ay maaaring iguguhit sa pamamagitan ng mga ito, at isa lamang.
Ilang puntos ang ibinibigay ng dalawang magkasalubong na linya? (3 puntos)
Modelo: ang pinto (eroplano) sa opisina ay naayos sa dalawang bisagra (puntos).
Dito siya kumuha ng isang posisyon, dito siya kumuha ng isa pa, atbp. Iyon ay, sa pamamagitan ng dalawang punto maaari kang gumuhit ng maraming eroplano. At ngayon sa dalawang punto (mga bisagra) magdaragdag ako ng isa pa sa parehong linya (isa pang bisagra). Ano ang nagbago? Wala. Nangangahulugan ito na kailangan nating kumuha ng pangatlong punto na hindi namamalagi sa parehong linya tulad ng unang dalawa. Sinasara ko ang pinto gamit ang isang lock o trangka (panahon). Lahat! Ang eroplano (pinto) ay hindi maaaring ilipat. Mayroon lamang isang posisyon, at samakatuwid mayroon lamang isang eroplano!
Para sa axiom na ito, kung ito ay nabuo nang tama, maglagay ng dalawang plus sa sheet ng pagsusuri.
Paano ang iyong mga modelo? (Sa yugtong ito, iginuhit ng guro ang kanyang opsyon sa magnetic board nang hindi inaalis ang mga opsyon ng mga mag-aaral).
Kontrol sa aplikasyon ng nakuhang kaalaman (6 minuto)
Guro: Bilang isang warm-up, nag-aalok ako sa lahat ng isang klasikong problema: Tatlong langaw ang lumipad sa opisina. Kailan sila sa eroplano? (Gustong itanong ng mga guro ng TSU ang tanong na ito sa mga aplikante sa panahon ng mga pagsusulit sa pasukan).
At ngayon ang bawat isa ay may sariling gawain upang suriin ang asimilasyon ng teoretikal na materyal (Appendix 3).
Pagkatapos ay binibigyan namin ang aming sarili ng mga marka gamit ang mga score sheet.
Summing up, pagmuni-muni. (4 minuto)
Guro: Ngayon suriin natin kung paano mo pinagkadalubhasaan ang teoretikal na materyal. Upang gawin ito, ibigay sa akin ang mga sheet ng impormasyon, bilang kapalit ay makakatanggap ka ng mga control sheet (Appendix 4). Ang bawat isa sa inyo ay gumawa ng gawain nang nakapag-iisa. Suriin ang kawastuhan ng iyong mga sagot at ipakita ang mga ito sa mga mark sheet.
Guro: Nag-iwan ng magandang impresyon ang iyong gawa. Ano ang iyong opinyon tungkol sa aralin? Sa mga talahanayan mayroon kang mga card - mga simbolo. Araw - isang simbolo ng magandang panahon, at samakatuwid ay isang magandang kalagayan. Kung nagustuhan mo ang aralin, ito ay kawili-wili, kapaki-pakinabang, pagkatapos ay itaas ang card na ito kapag bumoto.
Kung hindi lahat ng bagay sa aralin ay kawili-wili, pagkatapos ay itaas Ulap - simbolo ng variable na panahon.
Kung hindi mo nagustuhan ang aralin at ang oras ay nag-drag nang walang hanggan, itaas Buwan - isang simbolo ng katotohanan na sa araling ito ay gusto ko lang matulog.
At sa pagtatapos ng aralin gusto kong sabihin na ang agham ng geometry ay lumitaw mula sa mga praktikal na gawain ng tao. Ang tambalang salitang ito ay binubuo ng dalawang bahagi: geo (mula sa Griyego ge -Earth), ...metria (mula sa Greek metro -pagsusukat). Samakatuwid, umaasa ako na ngayon ay muli kang kumbinsido sa pangangailangang pag-aralan ang agham na ito.
10. Mga gawain para sa tahanan: puntos 1 at 2. ulitin ang cosine theorem, mga problema sa planimetric.
Salamat sa lahat para sa aralin.
Ang pag-aaral ng matematika ay mahalaga sa dalawang paraan:
una, dahil sa malakas na impluwensya
ang mahigpit na agham na ito sa pag-unlad ng mga kakayahan sa pag-iisip,
pangalawa, sa lawak ng mga aplikasyon nito.
M. Ostrogradsky
Aralin sa geometry
Lesson plan
Sinusuri ang takdang-aralin
Pag-aaral ng bagong paksa
Takdang aralin
Ang kaalaman ang pinakamagaling sa mga ari-arian.
Ang bawat tao'y nagsusumikap para dito, ngunit hindi ito darating sa sarili nitong.
Al - Biruni
Pag-aaral ng bagong paksa
- Kasaysayan ng geometry
- Pangunahing konsepto ng geometry
- Mga Axiom ng stereometry
- Corollaries mula sa axioms
Mga layunin at layunin
- Gumana gamit ang mga konsepto ng punto, linya, eroplano, espasyo.
- Kilalanin ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan.
- Ilapat ang mga axiom kapag nilulutas ang mga problema.
Kasaysayan ng geometry
1 Pinagmulan at kahulugan ng geometry
2 Pangunahing yugto sa pagbuo ng geometry
Pangunahing konsepto sa geometry
Geometry― bahagi ng matematika, na kumakatawan sa agham ng mga spatial na relasyon at mga hugis ng katawan; ang agham ng mga pigura at ang pagbabago ng mga pigura.
Teorama - isang pahayag na itinatag sa pamamagitan ng ebidensya.
Axiom- isang posisyon na tinanggap nang walang lohikal na patunay dahil sa agarang panghihikayat.
Pangunahing konsepto ng geometry
Geometry
Planimetry
Stereometry
isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga figure na matatagpuan sa kalawakan at ang mga katangian ng mga figure na ito.
isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga katangian ng mga geometric figure sa isang eroplano.
Pangunahing konsepto ng geometry
Planimetry
Eroplano
Dot
Diretso
Space
Stereometry
Pangunahing konsepto ng geometry
Eroplano― isa itong modelo ng perpektong patag at makinis na ibabaw, na walang katapusang pinalawak sa lahat ng direksyon.
Pangunahing konsepto ng geometry
Ang klasikal na modelo ng espasyo ay three-dimensional na Euclidean space.
Space ay isang set na ang mga elemento ay mga punto at kung saan ang sistema ng mga axiom ng stereometry ay natutupad, na naglalarawan ng mga katangian ng mga punto, linya at eroplano.
Pangunahing konsepto ng geometry
Theorems ng stereometry
Mga Axiom ng stereometry
Axiom 1 (axiom of belonging to a line)
Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong linya ay namamalagi sa eroplanong ito.
Mga Axiom ng stereometry
Axiom 2 (axiom tungkol sa intersection ng mga eroplano)
Kung ang dalawang eroplano ay may hindi bababa sa isang karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito.
Mga Axiom ng stereometry
Axiom ng tatlong puntos
Sa pamamagitan ng anumang tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya, maaari kang gumuhit ng isang eroplano, at isa lamang.
Mga Axiom ng stereometry
Axiom pagpapatuloy
May mga eroplano sa kalawakan. Sa anumang eroplano, ang lahat ng mga axiom ay nasiyahan, at samakatuwid ang lahat ng mga theorems ng planimetry.
Corollaries mula sa axioms
Teorama 1
Sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya maaari kang gumuhit ng isang eroplano, at isa lamang.
Corollaries mula sa axioms
Teorama 2
Sa pamamagitan ng dalawang magkatulad na linya maaari kang gumuhit ng isang eroplano, at isa lamang.
Corollaries mula sa axioms
Teorama 3
Sa pamamagitan ng anumang tuwid na linya at isang punto na hindi kabilang dito, ang isang eroplano ay maaaring iguguhit, at isa lamang.
Corollaries mula sa axioms
Magkomento
Ang isang walang katapusang bilang ng mga eroplano ay maaaring iguhit sa anumang tuwid na linya sa kalawakan.
Ang isip na masyadong nakakalat ay hindi kayang unawain ang mga bagay.
D. Cardano
Axiom 1
Axiom 2
Axiom 3
Axiom 4
Mga Axiom ng stereometry
May mga eroplano sa kalawakan.
Sa anumang eroplano, ang lahat ng mga axiom ay nasiyahan, at samakatuwid ang lahat ng mga theorems ng planimetry .
Sa pamamagitan ng anumang tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya, maaari kang gumuhit ng isang eroplano, at isa lamang.
Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong linya ay namamalagi sa eroplanong ito.
Kung ang dalawang eroplano ay may hindi bababa sa isang karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito.
Ang mga axiom ng stereometry ay naglalarawan:
Paraan para sa pagtukoy ng isang eroplano
Corollaries mula sa axioms
Sa pamamagitan ng anumang tuwid na linya at isang punto na hindi kabilang dito, ang isang eroplano ay maaaring iguguhit, at isa lamang
Sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya maaari kang gumuhit ng isang eroplano at, bukod dito, isa lamang
Sa pamamagitan ng dalawang magkatulad na linya maaari kang gumuhit ng isang eroplano at, bukod dito, isa lamang
Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng isang eroplano
Ang isang eroplano ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng tatlong puntos
Maaari kang gumuhit sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito
Maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya
Teorama 1
Teorama 3
Axiom 3
Totoo ba na ang anumang apat na puntos ay hindi namamalagi sa parehong eroplano?
Totoo ba na ang isang eroplano ay dumaan sa anumang tatlong punto, at isa lamang?
Ang mga puntong A, B, C, D ay hindi nakahiga sa parehong eroplano, maaari bang alinman sa tatlo sa kanila ang humiga sa parehong tuwid na linya?
Maaari bang magkaroon ng isang karaniwang punto ang dalawang eroplano?
Maaari bang ang dalawang eroplano ay may dalawang punto lamang na magkapareho?
Ang mga punto A, B, C, D ay hindi nakahiga sa parehong eroplano; maaari bang magsalubong ang mga tuwid na linya ng AB at CD?
Maaari bang magkaroon ng isang linyang magkapareho ang dalawang eroplano?
Totoo ba na kung ang dalawang punto ng isang bilog ay nakahiga sa isang eroplano, kung gayon ang buong bilog ay namamalagi sa eroplanong ito?
Totoo ba na kung ang tatlong punto ng isang bilog ay nasa isang eroplano, kung gayon ang buong bilog ay namamalagi sa eroplanong ito?
1) apat na puntos na nakahiga sa eroplanong SAB, sa eroplanong ABC;
2) ang eroplano kung saan ang tuwid na linya MN ay namamalagi, ang tuwid na linya KM;
3) ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong ASC at SBC, mga eroplanong SAC at CAB.
Gamit ang larawang ito, pangalanan:
1) mga eroplano na naglalaman ng linya DE, linya EF;
2) dalawang eroplano na intersected sa pamamagitan ng tuwid na linya SB; direktang AC.
B 1
C 1
A 1
D 1
Gamit ang larawang ito, pangalanan:
1) ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong BCD at AA 1 D 1; mga eroplanong ADC at A 1 B 1 B;
2) isang eroplano na hindi sumasalubong sa tuwid na linya CD 1; na may tuwid na linya BC 1
Ang lahat ng sining ay nakahilig sa musika; lahat ng agham ay may kaugnayan sa matematika.
J. Santayana
Ang ating kaalaman ay hindi kailanman magkakaroon ng tiyak na wakas dahil ang paksa ng kaalaman ay walang hanggan.
B. Pascal
- Ano ang stereometry?
- Ang paglitaw at pag-unlad ng stereometry
- Mga pangunahing figure sa kalawakan
- Pagtatalaga ng mga punto at mga halimbawa ng kanilang mga modelo
- Pagtatalaga ng mga tuwid na linya
- Mga halimbawa ng tuwid na linya
- Pagtatalaga ng mga eroplano at mga halimbawa ng kanilang mga modelo
- Ano pa ang pinag-aaralan ng stereometry?
- Mga bagay at geometric na katawan sa paligid natin
- Larawan ng mga geometric na katawan sa mga guhit
- Praktikal (inilapat) na kahulugan ng stereometry
- Mga Axiom ng stereometry
- Corollaries mula sa axioms ng stereometry
- Pagsasama-sama
- Mga Gamit na Aklat
Ano ang stereometry?
Stereometry ay isang sangay ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa espasyo.
Ang paglitaw at pag-unlad ng stereometry.
- Ang pag-unlad ng stereometry ay nagsimula nang mas huli kaysa sa planimetry.
- Nabuo ang stereometry mula sa mga obserbasyon at solusyon sa mga tanong na lumitaw sa proseso ng praktikal na aktibidad ng tao.
- Ang primitive na tao, na nagsimulang magsasaka, ay gumawa ng mga pagtatangka na tantiyahin, kahit man lang sa magaspang na termino, ang laki ng ani na kanyang nakolekta sa pamamagitan ng masa ng butil na nakasalansan sa mga tambak, tambak o stack.
- Ang tagabuo ng kahit na ang pinaka sinaunang primitive na mga gusali ay kailangang isaalang-alang ang materyal na mayroon siya sa kanyang pagtatapon at makalkula kung gaano karaming materyal ang kakailanganin para sa pagtatayo ng isang partikular na gusali.
- Ang stonemasonry sa mga sinaunang Egyptian at Chaldean ay nangangailangan ng pamilyar sa mga metric na katangian ng hindi bababa sa pinakasimpleng geometric na katawan.
- Ang pangangailangan para sa agrikultura, pag-navigate, at oryentasyon ng oras ay nagtulak sa mga tao sa mga obserbasyon sa astronomiya, at ang huli sa pag-aaral ng mga katangian ng globo at mga bahagi nito, at, dahil dito, ang mga batas ng relatibong posisyon ng mga eroplano at linya sa kalawakan.
Mga pangunahing figure sa kalawakan.
Ang eroplano ay isang geometric na pigura na umaabot nang walang limitasyon sa lahat ng direksyon.
Pagtatalaga ng mga punto at mga halimbawa ng kanilang mga modelo.
Ang mga puntos ay itinalaga ng malaking Latin na titik A, B, C, ...
Ang mga halimbawa ng mga modelo ng punto ay:
mga atomo at molekula
mga planeta sa sukat ng uniberso
Pagtatalaga ng mga tuwid na linya.
- Ang mga direktang linya ay itinalaga:
- maliliit na letrang Latin na a, b, c, d, e, k, …
- dalawang malaking Latin na titik AB, CD...
Mga halimbawa ng mga modelo ng tuwid na linya.
Kasama sa mga halimbawa ng mga modelo ng tuwid na linya ang:
sumasalungat ang eroplano
Pagtatalaga ng mga eroplano at mga halimbawa ng kanilang mga modelo.
Ang mga eroplano ay itinalaga ng mga letrang Griyego na α, β, γ,…
Kasama sa mga halimbawa ng mga modelo ng eroplano ang:
ibabaw ng tubig
ibabaw ng mesa
Ano pa ang pinag-aaralan ng stereometry?
Kasama ng punto, linya at eroplano, pinag-aaralan ng stereometry ang mga geometric na katawan at ang kanilang mga ibabaw.
Mga bagay at geometric na katawan sa paligid natin.
Ang mga bagay sa paligid natin ay nagbibigay ng mga ideya tungkol sa mga geometric na katawan.
At sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga katangian ng mga geometric na figure - mga haka-haka na bagay, nakakakuha kami ng impormasyon tungkol sa mga geometric na katangian ng mga tunay na bagay at maaaring gamitin ang mga katangiang ito sa mga praktikal na aktibidad.
mga kristal na polyhedra
lata - silindro
packaging ng kendi - kono
Mga larawan ng mga geometric na katawan sa mga guhit.
- Ang imahe ng isang spatial figure ay ang projection nito sa isang partikular na eroplano.
- Ang mga hindi nakikitang bahagi ng pigura ay inilalarawan ng mga putol-putol na linya.
Praktikal (inilapat) na kahulugan ng stereometry.
- Ang mga geometric na solid ay kathang-isip na mga bagay
- Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga katangian ng mga geometric na figure, nakakakuha tayo ng mga ideya tungkol sa mga geometric na katangian ng mga tunay na bagay (ang kanilang hugis, kamag-anak na posisyon, atbp.)
- Ang stereometry ay malawakang ginagamit sa konstruksiyon, arkitektura, mechanical engineering at iba pang larangan ng agham at teknolohiya.
Mga Axiom ng stereometry.
- Axiom- ang pahayag na ito tungkol sa mga katangian ng mga geometric na numero ay tinatanggap bilang mga panimulang punto, sa batayan kung saan ang mga karagdagang theorems ay napatunayan at, sa pangkalahatan, ang lahat ng geometry ay itinayo.
Mga Axiom ng stereometry.
A1 . Sa pamamagitan ng anumang tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya, may pumasa sa isang eroplano, at isa lamang.
Mga Axiom ng stereometry.
A2 . Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linyang ito ay nasa eroplanong ito.
Sa kasong ito, sinasabi nila na ang linya ay namamalagi sa eroplano o ang eroplano ay dumadaan sa linya.
Mga Axiom ng stereometry.
A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.
Sinasabi nila na ang mga eroplano ay nagsalubong sa isang tuwid na linya
Corollaries mula sa axioms.
Theorem 1: Ang isang eroplano, at isa lamang, ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito.
Theorem 2: Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at isa lamang.
Pagsasama-sama.
1. Pangalanan ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga linya:
Pagsasama-sama.
2. Pangalanan ang punto ng intersection ng tuwid na linya CE sa eroplanong ADB.
3. Pangalanan ang mga linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano:
Mga Gamit na Aklat
- Geometry. Baitang 10-11: aklat-aralin. Para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas/P.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al. – ika-21 na ed. – M.: Edukasyon, 2012.- 255 p.: ill.
- Geometry: isang methodological manual para sa mas mataas na pedagogical na institusyon at mga guro ng sekondaryang paaralan: bahagi 2 Stereometry / ed. Sinabi ni Prof. I.K. Andronova.
Isang serye ng mga aralin sa paksa: "Mga Axiom ng stereometry" ay binubuo ng mga sumusunod na aralin:
1. Paksa ng stereometry. Mga Axiom ng stereometry"
2. Ilang mga kahihinatnan mula sa mga axiom.
3;4. Paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga axiom at ang kanilang mga kahihinatnan.
5. Paglutas ng mga problema sa paglalapat ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan. Pansariling gawain.
Isang presentasyon ang inihanda para sa bawat aralin.
I-download:
Preview:
Isang serye ng mga aralin sa paksa: "Mga Axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan."
Aralin 1. Paksa ng stereometry. Mga Axiom ng stereometry.
Mga layunin ng aralin:
- gawing pamilyar ang mga mag-aaral sa nilalaman ng kursong stereometry;
- pag-aralan ang mga axiom tungkol sa relatibong posisyon ng mga punto, linya at eroplano sa kalawakan;
- matutong ilapat ang mga axiom ng stereometry kapag nilulutas ang mga problema.
Sa panahon ng mga klase:
Slide 1.
1. Organisasyon sandali.
2. Pag-aaral ng bagong materyal.
Guro: Sa loob ng tatlong taon, simula sa ika-7 baitang, nag-aaral kami ng kursong geometry ng paaralan.
Slide 2. Mga tanong para sa mga mag-aaral:
Ano ang geometry? (Ang geometry ay ang agham ng mga katangian ng mga geometric na hugis)
Ano ang planimetry? (Ang Planimetry ay isang seksyon ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa isang eroplano)
Anong mga pangunahing konsepto ng planimetry ang alam mo? (punto, tuwid na linya)
Guro: Ngayon ay nagsisimula kaming mag-aral ng bagong seksyon ng geometry - stereometry.
Slide 3. Ang Stereometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga katangian ng mga figure sa kalawakan. (Isulat ng mga mag-aaral sa kanilang kuwaderno)
Slide 4. Mga pangunahing konsepto ng espasyo: punto, linya, eroplano.
Ang ideya ng isang eroplano ay ibinibigay ng makinis na ibabaw ng isang mesa, dingding, sahig, kisame, atbp. Ang eroplano, bilang isang geometric na pigura, ay dapat isipin na umaabot sa lahat ng direksyon, walang katapusan. Ang mga eroplano ay itinalaga ng mga letrang Griyego na α, β, γ, atbp.
1. Pangalanan ang mga puntong nakahiga sa β plane; hindi nakahiga sa β plane.
2. Pangalanan ang mga tuwid na linya: ang mga nakahiga sa eroplano β; hindi nakahiga sa β plane.
Slide 5. Mayroon kaming malinaw na ideya ng mga pangunahing konsepto (punto, linya, eroplano) at ang mga kahulugan ay hindi ibinigay sa kanila. Ang kanilang mga katangian ay ipinahayag sa mga axiom.
Kasama ng isang punto, isang tuwid na linya, isang eroplano, mga geometric na katawan (cube, parallelepiped, cylinder, tetrahedron, cone, atbp.) ay isinasaalang-alang sa stereometry, ang kanilang mga katangian ay pinag-aralan, at ang kanilang mga lugar at volume ay kinakalkula. Ang mga bagay sa paligid natin ay nagbibigay sa atin ng ideya ng mga geometric na katawan.
Slide 6. Mga tanong para sa mga mag-aaral:
Anong mga geometric na katawan ang ipinapaalala sa iyo ng mga bagay na inilalarawan sa mga larawang ito?
Pangalanan ang mga bagay mula sa iyong kapaligiran (aming silid-aralan) na nagpapaalala sa iyo ng mga geometric na katawan.
Slide 7. Praktikal na gawain (sa mga notebook)
1. Gumuhit ng isang kubo sa iyong kuwaderno (ang nakikitang mga linya ay isang solidong linya, ang mga hindi nakikitang linya ay isang tuldok-tuldok na linya).
2. Lagyan ng malalaking titik ABCDA ang mga vertices ng cube 1 B 1 C 1 D 1
3. I-highlight gamit ang kulay na lapis:
- vertices A, C, B 1, D 1 ; mga segment AB, CD, B 1 S, D 1 MAY; diagonal ng square AA 1 V 1 V.
Iguhit ang atensyon ng mga mag-aaral sa nakikita at hindi nakikitang mga linya sa guhit; larawan ng parisukat na AA 1 sa 1 Sa kalawakan.
Slide 8. Mga tanong para sa mga mag-aaral:
Ano ang isang axiom? Anong mga axiom ng planimetry ang alam mo?
Sa espasyo, ang mga pangunahing katangian ng mga punto, linya at eroplano tungkol sa kanilang mga kamag-anak na posisyon ay ipinahayag sa mga axiom.
Slide 9. Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga tala at mga guhit sa kanilang mga kuwaderno.
Axiom 1. (A1) Sa pamamagitan ng anumang 3 puntos na hindi nakahiga sa parehong linya, mayroong isang eroplano, at isa lamang.
Slide 10. Tandaan na kung hindi ka kukuha ng 3, ngunit 4 na di-makatwirang mga punto, kung gayon walang isang eroplano ang maaaring dumaan sa kanila, iyon ay, 4 na puntos ay maaaring hindi nakahiga sa parehong eroplano.
Slide 11. Axiom 2. (A2) Kung ang 2 puntos ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linya ay nasa eroplanong ito. Sa kasong ito, sinasabi nila na ang linya ay namamalagi sa eroplano o ang eroplano ay dumadaan sa linya.
Slide 12. Tanong para sa mga mag-aaral:
Gaano karaming mga punto ang magkatulad ang isang linya at isang eroplano? (Larawan 1 - walang katapusang marami; Larawan 2 - isa)
Slide 13. Axiom 3. (A3) Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.
Sa kasong ito, ang mga eroplano ay sinasabing bumalandra sa isang tuwid na linya.
3. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
Slide 14. Paglutas ng mga problema mula sa aklat-aralin Blg. 1(a,b), 2(a).
Binabasa ng mga mag-aaral ang mga kondisyon ng mga gawain at, batay sa larawan sa slide, magbigay ng sagot na may paliwanag.
Gawain 1.
a) P, E (ADV) RE (ADV) ayon sa A 2
Katulad ng MK (VDS)
V,D (ADV) at (VDS) VD (ADV) at (ICE)
Katulad ng AB (ADV) at (ABC)
C, E (ABC) at (DES) CE (ABC) at (DES)
b) C (DK) at (ABC) DK ∩ (ABC) = S. Dahil walang higit sa isang punto ng intersection ng isang tuwid na linya at isang eroplano (ang tuwid na linya ay hindi namamalagi sa eroplano), pagkatapos ito ay ang tanging punto.
Katulad nito, ang CE ∩ (ADV) = E.
Problema 2(a)
Sa eroplano DSS 1: D, S, S 1, D 1 , K, M, R. Sa eroplano ng BQC: B 1, B, P, Q, C 1, M, S.
Slide 15. 4. Pagbubuod ng aralin.Mga tanong para sa mga mag-aaral:
- Ano ang pangalan ng seksyon ng geometry na pag-aaralan natin sa mga baitang 10-11?
- Ano ang stereometry?
- Gamit ang drawing, bumalangkas ng mga axiom ng stereometry na natutunan mo sa klase ngayon.
Slide 16. 5. Takdang-Aralin.
Aralin 2. Ilang kahihinatnan mula sa mga axiom.
Mga layunin ng aralin:
Suriin ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang aplikasyon sa paglutas ng mga problema sa takdang-aralin;
Upang maging pamilyar sa mga mag-aaral ang mga kahihinatnan ng mga axiom;
Upang ituro kung paano mag-aplay ng mga corollaries mula sa mga axiom kapag nilulutas ang mga problema, at din upang pagsamahin ang kakayahang gamitin ang mga axiom ng stereometry kapag nilulutas ang mga problema;
Ulitin ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang rhombus.
Sa panahon ng mga klase.
Slide 1. 1. Organisasyon sandali.Ipahayag ang paksa at layunin ng aralin.
Slide 2.
1) Bumuo ng mga axiom ng stereometry at gumuhit ng mga guhit sa pisara.
2) No. 1 (c, d); 2(b,d).
Pasalitang sinasagot ng mga mag-aaral ang mga tanong sa takdang-aralin batay sa larawan sa slide.
Slide 3. 3. Pag-aaral ng bagong materyal.Isaalang-alang natin at patunayan ang mga kahihinatnan ng mga axiom.
Theorem 1. Ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, at isang eroplano lamang.
Isulat ng mga mag-aaral ang mga salita sa isang kuwaderno at, pagsagot sa mga tanong ng guro, gumawa ng angkop na mga tala at mga guhit sa kuwaderno.
Ano ang ibinigay sa teorama? (isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito)
Ano ang kailangang patunayan? (lumampas sa eroplano; isa)
Ano ang maaaring gamitin para sa ebidensya? (mga axiom ng stereometry)
Aling axiom ang nagpapahintulot sa amin na gumawa ng isang eroplano? (A1, ang isang eroplano ay dumaan sa tatlong punto, at isa lamang)
Ano ang nasa teorama na ito at kung ano ang kulang sa paggamit ng A1 (mayroon tayong punto; dalawa pang puntos ang kailangan)
Saan tayo dapat bumuo ng dalawa pang puntos? (sa linyang ito)
Anong konklusyon ang maaari nating gawin? (Bumuo kami ng isang eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos)
Ang linya ba ay kabilang sa eroplanong ito? (Oo)
Sa anong batayan maaaring gawin ang konklusyong ito? (batay sa A2: kung ang dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong linya ay kabilang sa eroplano)
Gaano karaming mga eroplano ang maaaring iguhit sa pamamagitan ng isang ibinigay na linya at isang ibinigay na punto? (isa)
Bakit? (dahil ang eroplanong dumadaan sa linya at ang eroplano ay dumaan sa ibinigay na punto at dalawang puntos sa linya, kung gayon ayon sa A1 ang eroplanong ito ay nag-iisa)
Slide 4. Theorem 2. Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at isa lamang.
Ang mga mag-aaral ay nagpapatunay sa teorama sa kanilang sarili, pagkatapos ay makinig sa ilang mga patunay at gumawa ng mga karagdagan at paglilinaw (kung kinakailangan)
Bigyang-pansin ang katotohanan na ang patunay ay batay hindi sa mga axiom, ngunit sa Corollary 1.
Slide 5. 4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
Problema 6 (mula sa tutorial)
Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa kanilang mga notebook, nagmumungkahi ng kanilang sariling mga solusyon, pagkatapos ay ihambing ang kanilang solusyon sa solusyon sa screen. Dalawang kaso ang sinusuri: 1) ang mga punto ay hindi nasa parehong linya; 2) ang mga puntos ay nasa parehong tuwid na linya.
Slide 6.7. Problema sa slide. Ang mga mag-aaral ay nagbabasa ng mga kondisyon, gumawa ng isang guhit at gumawa ng mga kinakailangang tala sa kanilang mga notebook. Ang guro ay nagsasagawa ng pangharap na gawain sa klase sa mga isyu ng gawain. Habang nilulutas ang problema, inuulit namin ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang rhombus.
Ibinigay: ABCD – rhombus, AC∩VD=O, M, (A,D,O); AB = 4 cm, A = 60º.
Hanapin: (B,C); D (MOU); (MOV)∩(ADO); S A B C D.
Solusyon:
Bigyang-pansin ang katotohanan na kung ang dalawang eroplano ay may mga karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito.
5. Summing up:
Bumuo ng mga axiom ng stereometry.
Bumuo ng mga corollaries mula sa mga axiom.
Ang layunin ng aralin ay nakamit. Ang mga axiom ng stereometry ay inulit, ang mga kahihinatnan ng mga axiom ay natutunan, at sila ay inilapat upang malutas ang mga problema.
Pagmamarka (na may mga komento)
Slide 8. 6. Pagtatakda ng takdang-aralin:
Aralin 3. Paglutas ng mga problema gamit ang mga axiom ng stereometry at ang mga kahihinatnan nito.
Mga layunin ng aralin:
Suriin ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan;
Upang mabuo ang kasanayan sa paggamit ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan kapag nilutas ang mga problema;
Alam ng mga mag-aaral ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan at naisasagawa ang mga ito sa paglutas ng mga problema.
Sa panahon ng mga klase.
Slide 1. 1. Organisasyon sandali.Ipahayag ang paksa at layunin ng aralin.
2. Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral.
1) Pagsusuri ng takdang-aralin batay sa mga tanong ng mag-aaral.
Bago ang klase, kumuha ng mga homework notebook mula sa ilang mag-aaral upang suriin.
2) Dalawang estudyante ang naghahanda ng patunay ng mga corollaries mula sa mga axiom sa pisara.
3) Dalawang mag-aaral (antas 1) at dalawang mag-aaral (antas 2) ang nagtatrabaho gamit ang mga indibidwal na survey card. Slide.
4) Pangharap na trabaho sa mga mag-aaral.
Slide 2. Given: cube ABCDA1B1S1D1
Hanapin:
- Ilang mga punto na nasa α plane; (A B C D)
- Maraming mga punto na hindi namamalagi sa α plane; (A 1, B 1, C 1, D 1)
- Ilang tuwid na linya na nasa α plane; (AB, BC, SD, AD, AS, VD)
- Ilang linya na hindi nakahiga sa α plane; (A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, A 1 C 1, B 1 D 1, AA 1, BB 1, SS 1, DD 1)
- Ilang tuwid na linya na nagsasalubong sa tuwid na linya BC; (BB 1, SS 1)
- Ilang linya na hindi nagsalubong sa linyang BC. (AD, AA 1 …)
Slide 3. Punan ang mga patlang upang gawin ang tamang pahayag:
Slide 4. AA ba ang mga tuwid na linya? 1 , AB, AD sa parehong eroplano? (Direktang AA 1 , AB, AD ay dumaan sa punto A, ngunit huwag magsinungaling sa parehong eroplano)
3. Paglutas ng problema.
Slide 5. Nilulutas ng mga mag-aaral ang mga problema Blg. 7, 10, 14 mula sa aklat-aralin, na gumagawa ng angkop na mga guhit at tala sa pisara at sa mga kuwaderno.
Gawain Blg. 7.
2) Lahat ba ng mga tuwid na linya na dumadaan sa point M ay nasa parehong eroplano?
Solusyon: Mula sa Corollary 2:
2) Ang lahat ng mga linya na dumadaan sa punto M ay hindi kinakailangang nasa parehong eroplano. (tingnan ang halimbawa mula sa slide 4)
Gawain 10. Ang mga mag-aaral ay lutasin ang problema nang nakapag-iisa (katulad ng gawain Blg. 7). Ang guro ay pumipili ng mga notebook para sa pagsusuri at nagbibigay ng indibidwal na tulong sa paglutas ng problema sa mga mag-aaral na hindi nakatapos ng gawain.
Problema Blg. 14. Solusyon: Lahat ng linya a, b, c ay nasa parehong eroplano. Sa kasong ito, sa pamamagitan ng Corollary 2 maaari tayong gumuhit ng isang eroplano, at ang isang eroplano ay dumadaan sa tatlong tuwid na linya.
Ang isa sa tatlong linya, halimbawa c, ay hindi namamalagi sa eroplanong α na tinukoy ng mga linyang a at b. Sa kasong ito, tatlong magkakaibang mga eroplano ang dumaan sa ibinigay na tatlong linya, na tinukoy ng mga pares ng linya a at b, a at c, b at c.
Slide 6. Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng isang guhit at ang mga kinakailangang constructions at mga tala sa kanilang mga notebook. Kapag bumubuo, binibigkas ng mga mag-aaral ang mga axiom, at ang resulta ng pagbuo ay isinulat gamit ang simbolismo.
Gawain. Ibinigay: cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
Nakahiga si t.M sa gilid ng paputok 1 , ang t.N ay nasa gilid ng CC 1 at ang point K ay nasa gilid ng DD 1
a) Pangalanan ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga puntong M; N.
b) hanapin ang t.F-point ng intersection ng mga tuwid na linya MN at BC. Anong katangian mayroon ang point F?
c) hanapin ang punto ng intersection ng tuwid na linya na KN at eroplanong ABC.
d) hanapin ang linya ng intersection ng mga eroplanong MNK at ABC.
Solusyon:
Slide 7. Upang malutas ang susunod na problema, ulitin namin ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang quadrilateral. Ang derivation ng formula ay nasuri sa slide.
Isulat ng mga mag-aaral ang formula sa kanilang kuwaderno.
Slide 8. Patunayan mo na ang lahat ng vertices ng quadrilateral ABCD ay nasa parehong eroplano kung ang mga dayagonal nito na AC at WD ay magsalubong.
Kalkulahin lugar ng quadrilateral, kung AC┴VD, AC = 10 cm, VD = 12 cm.
Sagot: 60 cm 2
4. Pagbubuod ng aralin.
Ano ang naging sanhi ng mga paghihirap? Ang guro ay nagpahayag ng mga marka para sa aralin na may komentaryo.
Slide 9.
Aralin 4. Paglutas ng mga problema gamit ang mga axiom ng stereometry at ang mga kahihinatnan nito.
Mga layunin ng aralin:
Magsagawa ng pagsubok ng kaalaman sa mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan;
Upang pagsama-samahin ang nabuong kasanayan sa paggamit ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan kapag nilutas ang mga problema;
Balik-aral: Pythagorean theorem at mga aplikasyon nito; mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang equilateral triangle, rectangle.
Sa panahon ng mga klase.
Slide 1. 1. Organisasyon sandali.Ipahayag ang paksa at layunin ng aralin.
Slide 2. 2. Pagsusuri ng takdang-aralin.
Bago ang klase, kumuha ng mga homework notebook mula sa ilang mag-aaral upang suriin.
Dalawang estudyante ang naghahanda ng mga solusyon sa mga problema mula sa takdang-aralin sa board - No. 9, 15.
Ang natitirang mga mag-aaral ay sumasagot sa mga tanong sa pagdidikta sa matematika sa slide.
Slide 3. 3. Paglutas ng problema (pangharap na gawain kasama ang klase)
Gawain Blg. 1.
Ibinigay ang isang tetrahedron MABC, ang bawat gilid nito ay 6 cm.
- Pangalanan ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano: a) MAV at MFC; b) MSF at ABC.
- Hanapin ang mga haba ng CF at SABC
- Paano bumuo ng punto ng intersection ng tuwid na linya DE na may eroplanong ABC?
Mga tanong para sa mga mag-aaral (kung kinakailangan):
Aling mga punto ang sabay-sabay na nabibilang sa parehong mga eroplano. Batay sa anong axiom ang maaaring gawin ng isang konklusyon?
Sabihin ang katangian ng median ng isang isosceles triangle.
Sabihin ang Pythagorean theorem.
Bakit maaaring mailapat ang Pythagorean theorem sa kasong ito?
Paano mo makalkula ang lugar ng isang equilateral triangle?
Palagi bang posible na bumuo ng punto ng intersection ng tuwid na linya DE na may eroplanong ABC?
Slide 4. Gawain Blg. 2.
- Paano bumuo ng punto ng intersection ng eroplanong ABC na may tuwid na linya D 1 R?
- Paano gumawa ng linya ng intersection ng AD plane 1 Р at АВВ 1 ?
- Kalkulahin ang haba ng mga segment na AP at AD 1 kung AB = a
Solusyon:
Slide 5. Gawain Blg. 3.
Ibinigay : Ang mga puntong A, B, C ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.
Patunayan ang puntong P ay nasa ABC plane.
Sa tulong ng animation sa slide, ang mga mag-aaral ay gumuhit ng angkop na mga konstruksyon at mga kinakailangang konklusyon. Gumawa ng mga tala sa mga kuwaderno gamit ang mga simbolo ng matematika, na binibigkas ang kaukulang mga axiom at corollaries mula sa mga axiom.
Mga tanong para sa mga mag-aaral (kung kinakailangan):
Alam na ang mga puntong A, B, C ay hindi nasa parehong linya, anong konklusyon ang mabubuo?
Kung ang mga punto A at B ay nasa isang eroplano, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa linya AB?
Anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa punto M?
Kung ang mga punto A at C ay nasa isang eroplano, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa linyang AC?
Anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa punto K?
Alam na ang mga puntong M at K ay nasa eroplano, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa tuwid na linyang MK?
Anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa punto P?
Solusyon (isa pang paraan upang patunayan):
AB∩AC=A. Sa pamamagitan ng pangalawang corollary, ang mga tuwid na linya ng AB at AC ay tumutukoy sa eroplanong α. Ang punto M ay kabilang sa AB, at samakatuwid ay kabilang sa eroplanong α, at ang puntong K ay kabilang sa AC, at samakatuwid ay nasa eroplanong α. Ayon sa axiom A2: ang MC ay nasa α plane. Point P ay kabilang sa MC, at samakatuwid ay sa eroplano α.
Slide 6. Gawain Blg. 4.
Ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong sa isang tuwid na linya c. Ang linya a ay nasa eroplanong α at nag-intersect sa eroplanong β. Nagsalubong ba ang mga linya a at c? Bakit?
Mga tanong para sa mga mag-aaral (kung kinakailangan):
Sa pag-alam na ang tuwid na linya ay nag-intersect sa eroplanong β, anong konklusyon ang mabubuo? (Ang tuwid na linya at ang eroplano ay may isang karaniwang punto, halimbawa, punto B)
Anong katangian mayroon ang point B? (Ang punto B ay kabilang sa tuwid na linya a, eroplanong α, at eroplanong β)
Kung ang isang punto ay kabilang sa dalawang eroplano sa parehong oras, kung gayon ano ang masasabi natin tungkol sa mga kamag-anak na posisyon ng mga eroplano? (nagsalubong ang mga eroplano sa isang tuwid na linya, halimbawa c)
Ano ang relatibong posisyon ng punto B at linya c? (point B ay kabilang sa linya c)
Alam na ang punto B ay kabilang sa parehong linya a at linya c, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa mga linyang ito? (nagsalubong ang mga linya sa punto B)
Slide 7. Gawain Blg. 5.
Dahil sa isang parihaba ABCD, ang O ay ang punto ng intersection ng mga diagonal nito. Ito ay kilala na ang mga punto A, B, O ay nasa α plane. Patunayan na ang mga puntong C at D ay nasa α plane din. Kalkulahin ang lugar ng parihaba kung AC = 8 cm, AOB = 60º.
Ang gawain ay inilaan para sa independiyenteng solusyon na may pagtalakay sa solusyon at pagbibigay ng indibidwal na tulong sa mga mag-aaral. Kapaki-pakinabang na pag-usapan ang iba't ibang paraan upang mahanap ang lugar ng isang parihaba:
Anyayahan ang mga estudyante na lutasin ang problema sa iba't ibang paraan. Sagot: 16 cm 2.
4. Pagbubuod ng aralin:
Anong mga axiom at theorems ang ginamit natin sa klase sa paglutas ng mga problema? I-formula ito.
Anong mga gawain ang pinakakawili-wili, ang pinakamahirap?
Ano ang naging kapaki-pakinabang para sa iyo nang personal sa panahon ng aralin?
Ano ang naging sanhi ng mga paghihirap?
Pagbibigay ng mga marka para sa aralin (na may pagkomento sa bawat marka)
Slide 8. 5. Pagtatakda ng takdang-aralin:
Aralin 5. Paglutas ng mga problema gamit ang mga axiom ng stereometry at ang mga kahihinatnan nito. Malayang gawain (20 min.)
Mga layunin ng aralin:
Upang pagsamahin ang asimilasyon ng mga teoretikal na isyu sa proseso ng paglutas ng mga problema;
Suriin ang antas ng kahandaan ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pagsasagawa ng independiyenteng gawain na may likas na pagkontrol.
Sa panahon ng mga klase.
Slide 1. 1. Organisasyon sandali.
Ipahayag ang paksa at layunin ng aralin.
Slide 2. 2. Pagsusuri ng takdang-aralin.
Bago ang klase, kumuha ng mga homework notebook mula sa ilang mag-aaral upang suriin.
Gawain 1.
Ang mga linyang a at b ay nagsalubong sa puntong O, A a, B b, P AB. Patunayan na ang mga linya a at b at point P ay nasa parehong eroplano.
Solusyon:
Slide 3. Gawain 2.
Sa figure na ito, ang eroplano α ay naglalaman ng mga puntos A, B, C, D, ngunit hindi naglalaman ng punto M. Bumuo ng punto K - ang punto ng intersection ng tuwid na linya AB at ang MSD na eroplano. Nasa α plane ba ang point K?
Solusyon:
Slide 4, 5, 6 3. Oral na solusyon ng mga problema upang ulitin ang teorya (batay sa mga slide)
Slides 7,8 4. Malayang gawain(multi-level, controlling nature) Pinipili ng mga mag-aaral ang kanilang antas ng kahirapan.
5. Pagbubuod.
1) Mangolekta ng mga notebook na may independiyenteng gawain.
2) Anunsyo ng mga marka na may komentaryo.
Slide 9. 6. Takdang-Aralin.
Preview:
Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, gumawa ng Google account at mag-log in dito: https://accounts.google.com
Mga slide caption:
Aralin 1 Paksa: "Ang paksa ng stereometry. Axioms ng stereometry."
Ano ang geometry? Ang geometry ay ang agham ng mga katangian ng mga geometric figure na "Geometry" - (Greek) - "pagsusuri ng lupa" - Ano ang planimetry? Ang planimetry ay isang seksyon ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa isang eroplano. A a Pangunahing konsepto ng planimetry: tuwid na punto - Mga pangunahing konsepto ng planimetry?
Ang Stereometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga katangian ng mga figure sa kalawakan
Pangunahing mga numero sa espasyo: ituro ang tuwid na eroplano α β Pagtatalaga: A; SA; MAY; ...; M;... a A B M N P Pagtatalaga: a, b, c, d..., m, n,... (o dalawang malalaking letrang Latin) Pagtatalaga: α, β, γ... Sagutin ang mga tanong batay sa larawan: 1. Pangalanan ang mga puntong nasa β plane; hindi nakahiga sa β plane. 2. Pangalanan ang mga linyang nakahiga sa eroplanong β; hindi nakahiga sa β plane
Ang ilang mga geometric na katawan. A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 cube A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 parallelepiped A B C D tetrahedron cylinder cone
Pangalanan kung anong mga geometric na katawan ang ipinapaalala sa iyo ng mga bagay na inilalarawan sa mga larawang ito: Pangalanan ang mga bagay mula sa kapaligiran sa paligid mo (aming silid-aralan) na nagpapaalala sa iyo ng mga geometric na katawan.
Praktikal na trabaho. 1. Gumuhit ng isang kubo sa iyong kuwaderno (ang nakikitang mga linya ay isang solidong linya, ang mga hindi nakikitang linya ay isang tuldok-tuldok na linya). 2. Lagyan ng malalaking titik ang mga vertices ng cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 3. Markahan ng may kulay na lapis: vertices A, C, B 1, D 1 segments AB, CD, B 1 S, D 1 S square diagonal AA 1 B 1 B
Ano ang isang axiom? Ang axiom ay isang pahayag tungkol sa mga katangian ng mga geometric na numero; tinatanggap ito bilang panimulang punto, batay sa kung saan ang mga karagdagang theorems ay napatunayan at, sa pangkalahatan, ang lahat ng geometry ay binuo. Mga Axiom ng planimetry: - sa pamamagitan ng alinmang dalawang punto maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya at, bukod dito, isa lamang. Sa tatlong punto sa isang tuwid na linya, isa, at isa lamang, ang nasa pagitan ng dalawa. mayroong hindi bababa sa tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya...
Mga Axiom ng stereometry. A B C A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya, may pumasa sa isang eroplano, at isa lamang. α
Kung ang mga binti ng mesa ay hindi magkapareho ang haba, kung gayon ang mesa ay nakatayo sa tatlong binti, i.e. ay nakasalalay sa tatlong "puntos", at ang dulo ng ikaapat na binti (ikaapat na punto) ay hindi namamalagi sa eroplano ng sahig, ngunit nakabitin sa hangin.
Mga Axiom ng stereometry. A B α A2. Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linyang ito ay nasa eroplanong ito. Sabi nila: ang isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano o ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya.
at M Ang tuwid na linya ay nasa eroplano Ang tuwid na linya ay nagsalubong sa eroplano Ilang mga punto ang magkapareho ang tuwid na linya at ang eroplano?
Mga Axiom ng stereometry. α β A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi. Sabi nila: ang mga eroplano ay bumalandra sa isang tuwid na linya. A
Lutasin ang mga problema: No. 1 (a, b); 2(a) A B C D R E K M A V C D A 1 B 1 C 1 D 1 Q P R K M Pangalan mula sa larawan: a) ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga tuwid na linya na DV, AB, MK, PE, EC; b) ang mga punto ng intersection ng tuwid na linya DK na may eroplanong ABC, tuwid na linya CE na may eroplanong ADV. a) mga puntong nakahiga sa mga eroplanong DSS 1 at B Q C No. 1 (a, b) No. 2 (a)
Ibuod natin ang aralin: 1) Ano ang pangalan ng seksyon ng geometry na ating pag-aaralan sa baitang 10-11? 2) Ano ang stereometry? 3) Gamit ang isang guhit, bumalangkas ng mga axiom ng stereometry na iyong pinag-aralan ngayon sa klase. A A B B α α A α β
Theorem 1. Ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, at isang eroplano lamang. Ibinigay: a, M ¢ a Patunayan: (a, M) na may α α ay ang tanging isang M α Patunay: 1 . R, O s a; ( P, O, M ) ¢ a P O Ayon sa axiom A1: ang isang eroplano ay dumadaan sa mga puntong P, O, M. Ayon sa axiom A2: dahil dalawang punto ng isang linya ay nabibilang sa isang eroplano, pagkatapos ang buong linya ay kabilang sa eroplanong ito, i.e. (a, M) na may α 2. Anumang eroplano na dumadaan sa tuwid na linya a at point M ay dumadaan sa mga puntong P, O, at M, na nangangahulugang, ayon sa axiom A1, ito ay natatangi. atbp. Ang ilang mga corollaries mula sa axioms:
Theorem 2. Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at isa lamang. Ibinigay: a ∩ b Patunayan: 1. (a∩ b) na may α 2. Ang α ay ang tanging a b M N α Patunay: 1. Ang eroplanong α ay dumadaan sa a at H a, H b. (M, H) α , (M, H) b , na nangangahulugang sa pamamagitan ng A2 lahat ng puntos b ay nabibilang sa eroplano. 2. Ang eroplano ay dumadaan sa a at b at ito ay kakaiba, dahil anumang eroplano na dumadaan sa mga linya a at b ay dumadaan din sa H, na nangangahulugang ang α ay natatangi.
Lutasin ang problema Blg. 6 A B C α Tatlong ibinigay na puntos ay pinagdugtong nang pares ayon sa mga segment. Patunayan na ang lahat ng mga segment ay nasa parehong eroplano. Patunay: 1. (A,B,C) α, na nangangahulugan na sa kahabaan ng A1 ay may isang eroplano lamang na dumadaan sa A,B,C. 2. Dalawang punto ng bawat segment ang namamalagi sa eroplano, na nangangahulugang sa pamamagitan ng A2 ang lahat ng mga punto ng bawat isa sa mga segment ay nasa eroplano α. 3. Konklusyon: AB, BC, AC ay nasa α plane 1 case. A B C α 2 kaso. Patunay: Dahil ang 3 puntos ay nabibilang sa isang linya, kung gayon ayon sa A2 ang lahat ng mga punto ng linyang ito ay nasa eroplano.
Gawain. A B C D M O Ang ABCD ay isang rhombus, O ang punto ng intersection ng mga diagonal nito, M ay isang punto sa espasyo na hindi namamalagi sa eroplano ng rhombus. Ang mga punto A, D, O ay nasa α plane. Tukuyin at bigyang-katwiran: Nasa α plane ba ang mga punto B at C? Nasa MOB plane ba ang point D? Pangalanan ang linya ng intersection ng mga eroplano na MOV at ADO. Kalkulahin ang lugar ng isang rhombus kung ang gilid nito ay 4 cm at ang anggulo nito ay 60º. Magmungkahi ng iba't ibang paraan upang makalkula ang lugar ng isang rhombus.
Oral na gawain. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Given: cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Find: Ilang puntos na nasa eroplano α; Maraming mga punto na hindi namamalagi sa α plane; Ilang tuwid na linya na nasa α plane; Ilang linya na hindi nakahiga sa α plane; Ilang tuwid na linya na nagsasalubong sa tuwid na linya BC; Ilang linya na hindi nagsalubong sa linyang BC. Gawain 1.
Oral na gawain. Gawain 2. α A M B a b c Punan ang mga patlang upang magawa ang tamang pahayag:
Oral na gawain. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Ang mga linyang AA 1, AB, AD ay dumadaan sa punto A, ngunit hindi nakahiga sa parehong eroplano Nakahiga ba ang mga tuwid na linya AA 1, AB, AD sa parehong eroplano?
Lutasin ang mga problema mula sa aklat-aralin: pahina 8 Blg. 7, 10, 14. Ang gawain ng mga mag-aaral sa pisara at sa mga kuwaderno:
Problema 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M N F K Ibinigay: cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 t.M ay nasa gilid BB 1, t. N nasa gilid CC 1 at ang point K ay nasa gilid DD 1 a) pangalanan ang mga eroplano kung saan ang mga punto M kasinungalingan; N. b) hanapin ang t. F - ang punto ng intersection ng mga linya M N at BC. Anong katangian mayroon ang point F? c) hanapin ang punto ng intersection ng tuwid na linya K N at eroplano ABC O d) hanapin ang linya ng intersection ng mga eroplano M N K at ABC
Problema (oral) A B C D M O Ang ABCD ay isang rhombus, O ang punto ng intersection ng mga diagonal nito, ang M ay isang punto sa espasyo na hindi namamalagi sa eroplano ng rhombus. Ang mga puntos A, D, O ay nasa α plane. Tukuyin at bigyang-katwiran: 1. Ano ang iba pang mga punto na nasa α plane? Nasa α plane ba ang mga puntos B at M? Nasa MOD plane ba ang point B? Pangalanan ang linya ng intersection ng MOS at ADO na mga eroplano. Point O ay ang karaniwang punto ng mga eroplano MOV at MOS. Totoo ba na ang mga eroplanong ito ay bumalandra sa tuwid na linya MO? Pangalanan ang tatlong tuwid na linya na nakahiga sa parehong eroplano; hindi nakahiga sa parehong eroplano.
Problema (oral) A B C M Ang mga gilid AB at AC ng tatsulok na ABC ay nasa isang eroplano. Patunayan na ang median ay namamalagi din sa eroplano.
S D E F O M Gawain (oral) Ano ang pagkakamali sa pagguhit, kung saan O E F . Magbigay ng paliwanag. Ano ang dapat na hitsura ng isang tamang pagguhit.
Level 1 A B C S K M N 1. Gamit ang figure na ito, pangalanan ang: a) apat na puntos na nakalagay sa eroplano S AB; b) ang eroplano kung saan matatagpuan ang tuwid na linya M N; c) ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong S AC at S BC. 2. Ang punto C ay ang karaniwang punto ng eroplano at. Ang tuwid na linya c ay dumadaan sa puntong C. Totoo bang ang mga eroplano at nagsalubong sa tuwid na linya c. Ipaliwanag ang iyong sagot. 3. Dalawang magkaibang eroplano ang maaaring iguhit sa linya a at punto A. Ano ang relatibong posisyon ng tuwid na linya a at punto A. Ipaliwanag ang iyong sagot. Level 2 S A B C D E F 1. Gamit ang figure na ito, pangalanan ang: a) dalawang eroplano na naglalaman ng isang tuwid na linya DE; b) ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong AE F at S BC; c) mga eroplanong nagsalubong sa linyang S B. 2. Ang mga linyang a, b at c ay may magkatulad na punto. Totoo ba na ang mga linyang ito ay nasa parehong eroplano? Pangatwiranan ang iyong sagot. 3. Mga eroplano at bumalandra sa isang tuwid na linya na may. Ang linya ng a ay nasa eroplano at nag-intersect sa eroplano. Ano ang relatibong posisyon ng mga linya a at c?
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Level 3 (sa mga card) 1. Gamit ang figure na ito, pangalanan ang: a) dalawang eroplano na naglalaman ng linya B 1 C; b) ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano B 1 SD at AA 1 D 1; c) isang eroplano na hindi sumasalubong sa tuwid na linya SD 1. 2. Apat na linya ang nagsalubong sa magkapares. Totoo ba na kung ang tatlo sa kanila ay nakahiga sa parehong eroplano, kung gayon ang lahat ng apat na tuwid na linya ay nasa parehong eroplano? Ipaliwanag ang iyong sagot. 3. Ang Vertex C ng isang patag na may apat na gilid na ABCD ay nasa eroplano, ngunit ang mga puntong A, B, D ay hindi nakalagay sa eroplanong ito. Ang mga tuwid na linyang AB at AD ay nagsalubong sa eroplano sa mga puntong B 1 at D 1, ayon sa pagkakabanggit. Ano ang relatibong posisyon ng mga puntos C, B 1 at D 1? Ipaliwanag ang iyong sagot.
Takdang-Aralin: ulitin ang materyal mula sa planimetry at gumawa ng mga tala sa iyong mga kuwaderno sa mga sumusunod na isyu: Pagpapasiya ng mga parallel na linya Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya sa isang eroplano Konstruksyon ng isang linya na parallel sa isang ibinigay na Axiom ng mga parallel na linya